Выбросы случайной функции за заданный уровень

Необходимость определения вероятностных характеристик процесса пересечения с. функцией заданного уровня возникает, когда необходимо вычислить вероятность того, что в течение срока службы нагрузка, действующая на строительную конструкцию, не превысит допустимого уровня. Найдем вероятность пересечения случайной функцией (дифференцируемой) X(t) некоторого уровня а в течение времени t. Полагая скорость изменения с.ф. V(t)=dX(t)/dt постоянной в течение времени dt (с точностью до бесконечно малых второго порядка) условие пересечения функцией X(t) уровня а за малый промежуток времени dt:

X(t)< a; X(t)+V(t)dt> a (74.5)

или

a-V(t)dt< X(t)< a (V(t)> 0) (75.5).

Вероятность этого события (выраженного условием (75)):

(76.5),

где p(x, V) - совместная плотность распределения с.ф. X(t) и V(t).

Ввиду близости пределов внутреннего интеграла (его заменили на p(a, V)Vdt - площадь прямоугольника) вероятность выброса:

(77.5).

Если разделить вероятность выброса Q _a на время dt, в течение которого он ожидается, получится временная плотность вероятности выброса за уровень а в момент t (среднее число выбросов в единицу времени):

(78.5).

В случае стационарного с.п. X(t) и Y(t) - независимые с.ф. и (при том и известна автокорреляционная функция для X(t) - K_X(t)), следовательно,

p(x, V)=p_x(x)× p_V(V), (79.5)

где p(x, V) - совместная плотность распределения X(t) и Y(t); p_x(x) × и p_V(V) - соответственно плотности распределения X(t) и Y(t).

Тогда временная плотность вероятности выброса:

(80.5),

где - м.о. положительной скорости V(t).

Для нормального распределения X(t):

(81.5)

распределение скорости V(t) будет также нормальным и независимым от распределения X(t): (82.5).

М.о. вследствие стационарности процесса. По (72) .