Последовательное соединение элементов

При последовательном соединении элементов разрушение происходит по наиболее слабому из них. Последовательным соединением элементов может быть названо также любое их соединение, образующее статически определимую систему. (Прочность – случайна, s – напряжение в стержне от фактической определенной нагрузки).

Интегральный закон распределения прочности i -того элемента системы – P_i(s) (т.е. вероятность того, что прочность элемента будет находиться на интервале (-¥, s), т.е. это вероятность разрушения). Вероятность неразрушения равна 1- P_i(s) для i -того элемента. Аналогично для всей системы ее вероятность не разрушения 1- P_c(s), где P_с(s) – интегральное распределение прочности всей системы, состоящей из n последовательно соединенных элементов. Согласно (3¢ /2) и (4/2)

(92.8)

Предполагается, что прочность каждого элемента является независимой с.в. Если все элементы имеют одинаковые распределения своей прочности, выраженной через внешнюю нагрузку (Pi(s)=P1(s), i =1, 2, …, n), то вероятность не разрушения 1 - Pc(s) = [1 - P1(s) ]n (93.8), где P1(s) – интегральное распределение прочности каждого элемента. Распределение плотности вероятности разрушения системы: pc(s) = n [1- P1(s) ]n-1× p1(s) (94.8), где p1(s) – плотность распределения прочности каждого элемента. Если прочность элементов подчиняется распределению Вейбулла (54.4) P1(s) = 1- exp (-csb) (95.8), то подставив (95.8) в (93.8) получим (вероятность разрушения системы) Pc(s) = 1- exp (-cnsb)= 1 - exp (-cyb) (96.8), где , т.е. распределения Pc(s) и P1(s) различаются лишь масштабом вдоль оси s, который для случайной величины прочности системы Rc в раз меньше, чем для случайной величины прочности элемента R 1. Следовательно, в этом отношении изменяются (при переходе от одного элемента к системе последовательно соединенных элементов) и математическое ожидание и стандарт прочности , (97.8)

Если стержни системы сделаны из одного материала, но имеют различные поперечные сечения, то формула вероятности неразрушения системы:

(98.8),

где (в каждом стержне свое конкретное напряжение).

Здесь F – внешняя нагрузка;

s _i – напряжение, вызываемое усилием в i -том стержне;

- усилие в i -том элементе от внешней нагрузки F =1; A _i – площадь сечения i -того стержня.

В случае, когда прочность материала подчиняется распределению Вейбулла (54.4), вероятность неразрушения системы (подставим (95.8) в (98.8)):

(99.8)

Тогда м.о. и стандарт прочности системы:

, (100.8)