Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Случайная векторная величина двух измерений
На практике решаются задачи, в которых результат опыта описывается не одной с.в., а двумя или более с.в., образующими систему. При этом свойства системы нескольких с.в. могут включать и взаимные связи (зависимости) между ними. Если с.в. X и Y принимают дискретные значения x i, y j и каждой паре значений (x i, y j) соответствует определенная вероятность p ij, то можно составить таблицу распределения вероятностей дискретной двумерной с.в. Очевидно . Значение функции Р(x, y) равно вероятности обнаружить с.в. Х< х и с.в. Y< y, т.е. P(x, y)=Prob(X< x, Y< y). Свойства функции распределения Р(x, y): 1) Р(х, y) - неубывающая функция своих аргументов, т.е. при х2> x1 P(x2, y)> P(x1, y) или при y2> y1 P(x, y2)> P(x, y1); 2) P(x, -¥)=P(-¥, y)=P(-¥, -¥)=0; 3) P(x, +¥)=P(x), P(+¥, y)=P(y) - если один из аргументов равен +¥, то функция распределения Р(х, y) превращается в функцию распределения другой с.в.; 4) P(+¥, +¥) =1. Плотность распределения системы двух с.в. (вторая смешанная производная P(x, y) по и затем по ). (25.3)º (15.3) или в общем виде , . Геометрически p(x, y) можно представить поверхностью (поверхность распределения - по ОХ и OY откладываются значения с.в. X и Y, по Z - вероятность их появления, см. рис.). Из (25) следует (26.3)º (17.3). Вероятность обнаружить двумерную с.в. (X, Y) в области D: Prob((X, Y)Ì D) = (27.3)=(16.3). Вероятность обнаружить точку М с координатами х 1, х 2,... х n в n -мерном объеме V: Prob(MÌ V)= (27¢.3) Далее, аналогично (18) (28.3), т.е. геометрически объем под поверхностью распределения равен 1. В общем виде имеем n -кратный интеграл (28¢.3). Если известен закон распределения системы двух случайных величин p(x, y), то можно определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему: (29.3). То же, в общем виде: (29¢.3). Но для того, чтобы по заданным законам распределения отдельных с.в., входящих в систему, определить законы распределения системы с.в., надо знать зависимость между величинами, входящими в систему. Условный закон распределения с.в. Х, входящей в систему (X, Y) - закон ее распределения, вычисленный при условии, что другая с.в. Y приняла определенное значение. Условный закон распределения можно задавать функцией P(x/y) и плотностью p(x/y) распределения. Геометрически функция плотности распределения p(x/y) представляет собой сечение поверхности распределения при y=const. Сечения поверхности распределения плоскостями x=const и y=const дают соответственно условные плотности распределения p(y/x) величины Y при определенных значениях x и условные плотности распределения p(x/y) величины X при определенных значениях y. Если X и Y - зависимые с.в., то кривые плотности распределения p(y/x) изменяются при изменении x, а кривые плотности распределения p(x/y) изменяются при изменении y. М.о. этих кривых при таких изменениях образуют линии регрессии 1 и 2. В случае независимости X и Y линии регрессии представляют собой прямые и , параллельные осям координат. При наличии функциональной связи (а не стохастической) между X и Y обе линии регрессии сливаются в одну - y=y(x), при этом поверхность плотности распределения может быть заменена кривой плотности распределения X или Y вдоль линии y=y(x). С учетом вышесказанного плотность распределения системы двух с.в. равна плотности распределения одной из них, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение: p(x, y)=p(x)p(y/x) (30.3)=(7.2) или в общем случае p(x1, x2,..., xn)=p(x1, x2,..., xi/xi+1, xi+2,..., xn)p(xi+1, xi+2,..., xn) (30¢.3). Для независимых с.в. p(x, y)=p(x)p(y) (31)=(3) - плотность распределения системы независимых с.в. равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.
|