Сводные индексы в форме средней арифметической и средней гармонической

Агрегатный способ исчисления общих индексов в статистике является основным наиболее распространенным, вместе с тем применяется и другой способ расчета общих индексов как сред­них из соответствующих индивидуальных индексов. К исчисле­нию таких средневзвешенных индексов прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчи­тать общий агрегатный индекс. Так, если неизвестны количества произведенных отдельных видов продукции в натуральных изме­рителях, но известны индивидуальные индексы и стои­мость продукции базисного периода (p ₀, q ₀) можно определить средний арифметический индекс физического объема продукции.

Исходной базой построения средневзвешенного индекса фи­зического объема продукции служит его агрегатная форма:

Из имеющихся данных непосредственно можно только по­лучить знаменатель этой формулы. Для нахождения числителя используем формулу индивидуального индекса объема продук­ции , из которой следует, что q₁ = i_q • q₀. Подставляя дан­ное выражение в числитель агрегатной формы, получаем общий индекс физического объема в форме среднего арифметического индекса физического объема продукции, где весами служит стои­мость отдельных видов продукции в базисном периоде (q ₀ p ₀)^:

При выборе весов следует иметь в виду, что средний индекс должен быть тождественен агрегатному, который является ос­новной формой индекса.

Если известны данные, позволяющие исчислить только чис­литель агрегатного индекса физического объема по формуле (9.4), то, аналогично выражая продукцию базисного периода как производим замену в знаменателе агрегатной формы. В результате получаем общий индекс физического объема в форме среднего гармонического взвешенного индекса физического объема продукции, где весами служит стоимость продукции отчетного периода в базисных (или сопоставимых) ценах (q₁ p₀):

В форме средней гармонической взвешенной индекс физи­ческого объема используется только в аналитических целях. Следовательно, применение той или иной формулы индекса физического объема (агрегатного, среднего арифметического или среднего гармонического) зависит от имеющихся в нашем распоряжении конкретных данных и цели исследования.

Как указывалось выше, наряду с агрегатными индексами общие индексы могут быть построены как средние взвешенные из индивидуальных, тождественные агрегатным. Покажем преобразование агрегатного индекса качественного показателя в средний гармонический и средний арифметический на примере индекса цен. В тех случаях, когда неизвестны отдельные значения р ₁ и q ₁, но дано их произведение p ₁ q ₁, (товарооборот текущего периода) и индивидуальные индексы цен , а сводный индекс должен быть исчислен с отчетными весами, — применяется средний гармонический индекс цен. Причем, индивидуальные индексы должны быть взвешены таким образом, чтобы средний гармони­ческий индекс совпал с агрегатным. Из формулы опреде­ляем неизвестное значение подставляем его в знамена­тель агрегатной формулы (9.9) и получаем средний гармонический индекс цен, который тождественен формуле индекса Пааше:

Весами индивидуальных индексов i_p в этом индексе служит стоимость отдельных видов продукции отчетного периода в це­нах того же периода p ₁ q ₁.

Если из индивидуального индекса цен выразим цену отчетного периода р ₁ = i₀ • p₀ и подставим в числитель агрегат­ного индекса цен (9.10), то получим средний арифметический ин­декс цен, тождественный агрегатному индексу Ласпейреса:

Весами осредняемых индивидуальных индексов в этом ин­дексе служит объем товарооборота в базисном периоде (p ₀ q ₀).

Аналогично индексу цен исчисляются и средние индексы себестоимости продукции.

Индивидуальные индексы являются обычными относительными величинами сравнения, т.е. могут быть названы индексами только в широком понимании этого термина (в целях единства методики и терминологии). Важной особенностью общих индексов, построение и расчет которых составляют суть индексного метода, является то, что они обладают синтетическими и аналитическими свойствами. Синтетические свойства общих индексов состоят в том, что они выражают относительные изменения сложных (разнотоварных) явлений, отдельные части и элементы которых непо­средственно несоизмеримы. Аналитические свойства общих индексов состоят в том, что посредством индексного метода определяется влияние фак­торов на изменение изучаемого показателя. Таким образом, общие индексы являются синтетическими и аналитическими показателями, играющими важную роль в со­циально-экономических исследованиях.