Жалпыланған координаттар. Жүйенің еркіндік дәрежесі.

Еріксіз механикалық жү йе нү ктелерінің кө шуі еркін болмастан, қ андайда бір себеппен шегараланатыны белгілі. Бұ л жү йе нү ктелерінің барлық координаттары еркін тү рде ө згермейтінін кө рсетеді. Ал еріксіз координаталар байланыс тең деулерінен табылады.

Айталық, жү йе нү ктелерден қ ұ ралғ ан болып, оғ ан s голономды байланыс қ ойылғ ан:

Демек, жү йе нү ктелерінің 3n координаттары арасында s байланыс бар, яғ ни s координат еріксіз. Ал, жү йе нү ктелерінің еркін координаттар саны k=3n-s координат арқ ылы анық талады.

Голономды байланыста болғ ан жү йенің бірден-бір орнын анық тайтын ө зара тә уелді болмағ ан параметрлер саны системаның еркіндік дә режесі деп аталады.

Мысалы, 5.1-суретте кө рсетілген кривошип-шатунды механизмді алатын болсақ, оның кез-келген уақ ытта алатын орнын арқ ылы анық тауғ а болады. Егер механизмнің орнын x₂ арқ ылы анық тайтын болсақ, онда x₃ жә не y₂ лерді (5.5) тең деулер жү йесінен табуғ а болады. Механизмнің кез-келген уақ ытта алатын орнын анық тау ү шін OA кривошиптің айналу бұ рышын алуғ а да болады. Демек, бұ л механизмнің еркіндік дә режесі бірге тең.

Системаның кең істіктегі алатын орнын бірден-бір анық тайтын ө зара тә уелді болмағ ан параметрлер жалпыланғ ан координаталар делінеді жә не оларды деп белгілейді. Жалпыланғ ан координаталардың ө лшем бірлігі ә ртү рлі болуы мү мкін(мә селен, метр, радиан, м ², м³). 5.1-суретте кө рсетілген кривошип-шатунды механизмнің кез-келген уақ ытта алатын орнын бір ғ ана координата арқ ылы анық тауғ а болады.

Демек, голономды байланыстағ ы системаның еркіндік дә режесі оның жалпыланғ ан координаталар санына тең. Біз бұ л бө лімде тек голономды байланыстағ ы системаны қ арастырамыз.

Егер системағ а голономды болмағ ан байланыс қ ойылғ ан болса, оның жалпыланғ ан координаталар арасында белгілі бір қ атынас болады. Мұ ндай системаның еркіндік дә режесі ге тең.

Голономды стационар байланыста болғ ан механикалық система n нү ктеден тұ рады деп есептейік жә не оның еркіндік дә режесі k ғ а тең болсын. Бұ л голономды жү йенің жалпыланғ ан координаталарын десек, онда қ арастырылып жатқ ан система нү ктелерінің радиус-векторларын немесе Декарт ө стеріндегі координаталарын жалпыланғ ан координаталар арқ ылы тө мендегідей ө рнектермен ө рнектеуге болады, яғ ни:

(5.7)

(5.8)

Олай болса, голономды байланыста тұ рғ ан механикалық системаның қ озғ алыс тең деулерін жалпыланғ ан координаталар арқ ылы тө мендегідей тү рде жазуғ а болады:

(5.9)

Жалпыланғ ан координаталардан уақ ыт бойынша алынғ ан бірінші туынды жалпыланғ ан жылдамдық, екінші туынды жалпыланғ ан ү деу

деп аталады жә не олар былай жазылады:

(5.10)

Жалпыланғ ан жылдамдық тың ө лшем бірлігі жалпыланғ ан координатаның ө лшем бірлігі мен уақ ыт бірлігінің қ атынасына тең.