Оцінка адекватності і точності трендових моделей

Незалежно від виду і способу побудови економіко-математичної моделі питання про можливість її застосування з метою аналізу та прогнозування економічного явища може бути вирішене тільки після встановлення адекватності, тобто відповідності моделі досліджуваному процесу або об’єкту. Так як повної відповідності моделі реальному процесу або об’єкту бути не може, адекватність - певною мірою умовне поняття. При моделюванні мається на увазі адекватність не взагалі, а за тими властивостями моделі, які вважаються суттєвими для дослідження.

Трендова модель конкретного часового ряду вважається адекватною, якщо правильно відображає систематичні компоненти тимчасового ряду. Ця вимога еквівалентна вимозі, щоб залишкова компонента задовольняла властивостям випадкової компоненти часового ряду, розглянутим в п. 12.1.

Перевірка випадковості коливань рівнів залишкової послідовності означає перевірку гіпотези про правильність вибору виду тренду. Для дослідження випадковості відхилень від тренда розглядають різниці:

(13.11)

Характер цих відхилень вивчається за допомогою ряду непараметричних критеріїв. Одним з таких критеріїв є критерій серій, заснований на медіані вибірки. Ряд з величин ранжують за зростанням їх значень і знаходять медіану отриманого варіаційного ряду. Повертаючись до вихідної послідовності і порівнюючи значення цієї послідовності з , записують знак «+», якщо значення перевершує медіану, і знак «-», якщо менше медіани, а в разі рівності порівнюваних величин, відповідне значення опускається. Таким чином, виходить послідовність, що складається з плюсів і мінусів, загальне число яких не перевершує . Послідовність послідовних плюсів чи мінусів називається серією. Для того щоб послідовність була випадковою вибіркою, число знаків самої довгої серії не повинна бути дуже великою, а загальне число серій - досить малим.

Позначимо число знаків найдовшої серії через , а загальне число серій - через . Вибірка визнається випадковою, якщо виконуються наступні умови для 5%-вого рівня значимості:

(13.12)

де – ціла частина числа.

Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то гіпотеза про випадковий характер відхилень рівнів часового ряду від тренду відхиляється і трендова модель визнається неадекватною.

Іншим критерієм для даної умови може служити критерій піків (поворотних точок). Рівень послідовності вважається максимумом, якщо він більше двох сусідніх рівнів, т. т. , і мінімумом, якщо він менше обох сусідніх рівнів, т. т. . В обох випадках вважається поворотною точкою; загальне число поворотних точок для залишкової послідовності позначимо через .

В випадковій вибірці математичне сподівання числа точок повороту і дисперсія виражаються формулами:

;

Критерієм випадковості з 5%-вим рівнем значимості, тобто з довірчою ймовірністю 95%, є виконання умови:

(13.13)

де – ціла частина числа.

Якщо умова не виконується, трендова модель вважається неадекватною.

Перевірка відповідності розподілу випадкової компоненти нормальному закону розподілу може бути проведена лише приблизно за допомогою дослідження показників асиметрії та ексцесу , так як часові ряди, як правило, не дуже великі. При нормальному розподілі показники асиметрії та ексцесу деякої генеральної сукупності дорівнюють нулю. Ми припускаємо, що відхилення від тренду являють собою вибірку з генеральної сукупності, тому можна визначити тільки вибіркові характеристики асиметрії та ексцесу і їхні помилки:

; ; ; (13.14)

У цих формулах – вибіркова характеристика асиметрії; – вибіркова характеристика ексцесу; та - відповідні середньоквадратичні помилки.

Якщо одночасно виконуються наступні умови:

;

то гіпотеза про нормальний характер розподілу випадкової компоненти приймається.

Якщо виконується хоча б одна з умов:

;

то гіпотеза про нормальний характер розподілу відхиляється, трендова модель визнається неадекватною.

Інші випадки потребують додаткової перевірки за допомогою більш складних критеріїв.

Крім розглянутого методу відомий ряд інших методів перевірки нормальності закону розподілу випадкової величини: метод Вестергарда, -критерій і т. д. Розглянемо найбільш простий з них, заснований на -критерії. Цей критерій чисельно дорівнює відношенню розмаху варіації випадкової величини до стандартного відхилення .

У нашому випадку , a . Обчислення значення -критерію порівнюється з табличними (критичними) нижньою і верхньою межами даного відношення, і якщо це значення не потрапляє в інтервал між критичними межами, то з заданим рівнем значимості гіпотеза про нормальність розподілу відкидається, в іншому випадку ця гіпотеза приймається.

Для ілюстрації наведемо кілька пар значень критичних меж -критерію для рівня значимості : при нижня межа дорівнює 2, 67, а верхня дорівнює 3, 685; при ці числа становлять відповідно 3, 18 і 4, 49; при вони рівні 3, 47 і 4, 89.

Перевірка рівності математичного сподівання випадкової компоненти нулю, якщо вона розподілена за нормальним законом, здійснюється на основі -критерію Стьюдента. Розрахункове значення цього критерію задається формулою:

(13.15)

де – середнє арифметичне значення рівнів залишкової послідовності ; – стандартне (середньоквадратичне) відхилення для цієї послідовності.

Якщо розрахункове значення менше табличного значення статистики Стьюдента з заданим рівнем значимості і числом ступенів свободи , то гіпотеза про рівність нулю математичного сподівання випадкової послідовності приймається; в іншому випадку ця гіпотеза відхиляється і модель вважається неадекватною.

Перевірка незалежності значень рівнів випадкової компоненти, тобто перевірка відсутності істотної автокореляції в залишковій послідовності може здійснюватися за рядом критеріїв, найбільш поширеним з яких є -критерій Дарбіна-Уотсона (див. п. 7.3.).

Зауважимо, що розрахункове значення критерію Дарбіна-Уотсона в інтервалі від 2 до 4 свідчить про обернений зв’язок; в цьому випадку його треба перетворити за формулою і надалі використовувати значення .

Якщо розрахункове значення критерію більше верхньої табличного значення , то гіпотеза про незалежність рівнів залишкової послідовності, тобто про відсутність у ній автокореляції, приймається. Якщо значення менше нижнього табличного значення , то ця гіпотеза відхиляється і модель неадекватна. Якщо значення знаходиться між значеннями і , включаючи самі ці значення, то вважається, що немає достатніх підстав зробити той чи інший висновок і необхідні подальші дослідження, наприклад, по більшій кількості спостережень.

Висновок про адекватність трендової моделі робиться, коли всі вказані вище чотири перевірки властивостей залишкової послідовності дають позитивний результат. Для адекватних моделей має сенс ставити задачу оцінки їх точності. Точність моделі характеризується величиною відхилення виходу моделі від реального значення модельованої змінної (економічного показника). Для показника, представленого тимчасовим рядом, точність визначається як різниця між значенням фактичного рівня часового ряду і його оцінкою, отриманою розрахунковим шляхом з використанням моделі, при цьому в якості статистичних показників точності застосовуються наступні:

– середнє квадратичне відхилення (13.16)

– середня відносна помилка апроксимації (13.17)

– коефіцієнт збіжності (13.18)

– коефіцієнт детермінації (5.16)

в наведених формулах – кількість рівнів ряду, – число параметрів, моделі; – оцінка рівнів ряду за моделлю; – середнє арифметичне значення рівнів ряду.

На підставі зазначених показників можна зробити вибір з декількох адекватних трендових моделей економічної динаміки найбільш точну, хоча може зустрітися випадок, коли за деяким показником більш точна одна модель, а за іншим – інша.

Дані показники точності моделей розраховуються на основі всіх рівнів часового ряду і тому відбивають лише точність апроксимації. Для оцінки прогнозних властивостей моделі доцільно використовувати так званий ретроспективний прогноз – підхід, заснований на виділенні ділянки з ряду останніх рівнів вихідного часового ряду в кількості, наприклад, рівнів в якості перевірочних, а саму трендову модель в цьому випадку слід будувати за першими точками, кількість яких дорівнюватиме . Тоді для розрахунку показників точності моделі за ретроспективним прогнозом застосовуються ті ж формули, але підсумовування в них буде вестися не за всіма спостереженнями, а лише за останніми спостереженнями. Наприклад, формула для середнього квадратичного відхилення буде мати вигляд:

де – значення рівнів ряду за моделлю, побудованою для перших рівнів.

Оцінювання прогнозних властивостей моделі на ретроспективній ділянці дуже корисно, особливо при зіставленні різних моделей прогнозування з числа адекватних. Однак треба пам’ятати, що оцінки ретропрогнозу – лише наближена міра точності прогнозу і моделі в цілому, так як прогноз на період випередження виконується за моделлю, побудованою за всіма рівнями ряду.