Вычисление прогибов на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки

Прогибы можно находить и другими способами, например, на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Для вывода этого уравнения, рассмотрим элемент балки (рис.16.6).

Рис. 16.6

Ясно, что чем больше , тем больше кривизна изогнутой оси балки.

Эту фразу можно записать в виде:

. (16.5)

Выразим кривизну через прогиб. Согласно формулам математического анализа:

Рис.16.7

По геометрическому смыслу производная это тангенс угла наклона кривой (рис16.7):

.

Ввиду малости прогибов угол также мал, поэтому

.

Тогда: (16.6)

Очевидно, что k зависит от геометрии сечения и материала балки. Найдем эту зависимость.

Рассмотрим малый элемент балки длины (рис. 16.3, 16.4). После изгиба он превратится в изогнутый элемент (рис.16.8). Длина волокна BC, которое проходит через центр тяжести сечения, не изменяется и будет равна . А нижнее волокно DH удлиняется на .

Рис.16.8

Вычисляем , учитывая, что . Согласно определению

.

Используя закон Гука и формулу Навье получаем

. (16.7)

Вычислим теперь по другому - через угол (рис.16.8). Из геометрии известна формула для вычисления длины дуги:

.

Тогда

. (16.8)

Приравниваем (16.7) и (16.8):

.

Отсюда получаем:

.

Учитываем, что согласно (16.6):

Окончательно получаем:

(16.9)

Это и есть уравнение изогнутой оси балки.