Уравнение изогнутой оси балки на упругом основании

Рассмотрим балку, которая лежит на грунте.

рис.16.15 рис.16.16

Такой моделью описываются ленточные фундаменты, дорожные полотна, обшивки трехслойных панелей типа сэндвич.

Грунт противодействует внешним силам некоторой погонной силой . Выразим ее через прогиб . Для этого вырежем малый элемент (см. рис.16.15 и рис.16.16). Сравнивая рис.16.13 и рис.16.16 видим, что элемент балки, фактически представляет собой мерный стержень, для которого реакция определяется по 16.16, т.е. реакция балки с прогибом связана соотношением:

.

Далее запишем уравнение равновесия элемента балки и уравнение ее изогнутой оси

(16.17)

(16.18)

(16.19)

Из рис.16.15 видно, что на балку действует две погонные силы: и . Тогда получим:

(16.20)

Здесь знак «-» перед поставлен потому, что осадка v элемента имеет отрицательный знак, а реакция должна быть противоположна погонной силе .

Подставим (16.18) в (16.20):

.

Подставляя сюда (16.19) получаем искомое уравнение:

. (16.21)

Решение запишем в виде суммы:

.

Простой подстановкой в (16.21) можно проверить, что решение имеет вид:

. (16.22)

Здесь .

Частное решение находим, подставляя = B в уравнение (16.21):

.

Остальные константы получают из геометрических соображений (условий закрепления) и условий статики на концах балки.