Напряжения в сечениях вала

Рассмотрим сечение I-I (см. рис.18.2). Считаем вал, состоящим из двух частей - левой и правой. Левая часть действует на правую некоторым моментом (у нас это М_z = m₂ – m₁).

Определение. Суммарный момент, которым левая часть вала воздействует на левую (или наоборот), называется крутящим моментом (обозначается или ). Это определение дает правило вычисления : суммарный момент, который действует слева или справа от сечения, называется крутящим моментом).

Правило знаков для крутящих моментов. Хотя для прочностных расчетов знак крутящего момента не имеет значения, но для определенности его можно ввести таким же образом, как и в теоретической механике. А именно, вклад внешнего момента, например, т₂ в суммарный крутящий момент положителен, если он действует слева и т₂ переводит ось «х» в ось «у» (против часовой стрелки) при условии, что мы смотрим с положительного конца оси z.

Рассечем теперь вал плоскостью II-II (рис.18.2). Тогда

.

Можно подсчитать по другому. Например, во втором сечении: .

Рис.18.2

Это дает одно и то же, так как из условия равновесия вала следует, что:

.

Поскольку правая часть воздействует на сечение I-I не в одной точке, а по всему сечению, то картина воздействия будет такая, как это изображено на рис.18.3.

рис.18.3

Распределенное воздействие правой частью бруса на плоскость сечения по определению будет касательным напряжением .

Выяснить закон распределения в сечении можно разными способами. Рассмотрим сначала первый (не традиционный) способ.

Из рассмотрения рис.18.3 можно заключить, что напряжение зависит только от расстояния до центра. Тогда можно записать:

.

Разложим функцию в ряд Маклорена:

Поскольку мы рассматриваем тела типа брусьев, у которых размеры поперечного сечения много меньше длины, то будет малой величиной. Поэтому можно отбросить малые слагаемые в разложении и записать:

.

Теперь рассмотрим малый элемент около центра сечения:

Из рисунка видно, что из закона парности касательных напряжений вытекает необходимость выполнения соотношения

.

Отсюда следует, что коэффициент k ₀ = 0. Таким образом, закон распределения в сечении имеет вид

. (18.3)

Теперь рассмотрим второй, традиционный способ. Для этого проводят следующие рассуждения. Вырежем диск толщины а (рис 18.3). Из этого диска радиуса R, вырежем малый диск радиуса .

рис.18.4

Рассмотрим прямоугольник .

При кручении точка перемещается в точку , точка перемещается в точку .

Видим, что получит сдвиг.

рис.18.5

Из рисунка видно, что: (18.2)

Здесь в силу малости .

Выразим теперь через радиус . Введем центральный угол (рис.18.3). Тогда

(18.3)

(Это вытекает из следующих геометрических соображений. Чем больше угол, тем больше дуга . В частности, при получим дугу . Это можно записать в виде пропорции ).

Приравнивая (18.2) и (18.3) находим:

.

По закону Гука: .

Обозначая снова получаем

.

Выводы:

1. Распределение по сечению не равномерное, а именно: в центре , так как .

2. Наибольшее напряжение возникает на малых площадках, примыкающих к поверхности (при ), т.е.

.

Найдем ₁ из условия равновесия левой части вала. Сечение разобьем на малые площадки, . На них действуют напряжения с суммарными силами

рис.18.6

Относительно оси z они создают моменты:

Поскольку: ,

то получим:

Запишем уравнение равновесия:

.

Согласно определению: М_z.

Тогда

(18.4)

Интеграл представляет собой геометрическую характеристику, которая называется полярным моментом и обозначается:

.

Поскольку (см. рис 18.7), то

рис.18.7

Таким образом, из (18.4) вытекает, что:

.

Подставляя в (18.3) получаем формулу для :

(18.5)

Условие прочности примет вид:

. (18.6)

Отметим, что здесь имеется полная аналогия с задачей изгиба.

Нарисуем эпюру :

рис.18.8 рис.18.9

Видно, что центральная часть вала мало загружена, следовательно, можно центральную часть убрать без ущерба для прочности вала. Поэтому валы делают полыми. Тогда:

. (18.6)

18.3. Расчетвала на жесткость

Под действием внешних моментов сечения вала закручиваются на некоторый угол , который называется углом закрутки ( рис.18.10). Кроме выполнения условий прочности заказчик конструкций обычно требует, чтобы был ограничен и этот угол закрутки. Такое требование называется условием жесткости.

Таким образом, для валов условие жесткости имеет вид:

(18.8)

Примечание: Иногда ставится другое или дополнительное ограничение в виде условия жесткости по погонному углу закрутки.

. (18.9)

Для вывода формулы вычисления рассмотрим деформацию вала:

Рис.18.10 рис.18.11

Сначала найдем из

.

С другой стороны: .

Приравнивая, получим: ; .

По закону Гука , а по формуле (18.5) .

Подставляя получим:

(18.10)

Отсюда можем найти погонный угол закрутки:

(18.11)

Рассмотрим случай, когда вал состоит из ряда участков

рис.18.12

Найдем поворот правого торца относительно левого. Для этого сначала найдем - это поворот среднего сечения относительно левого торца.

.

Аналогично, поворотом правого торца относительно среднего сечения будет: .

Следовательно: . (18.12)

Примечание 1:

Легко обнаружить, что математически задача кручения круглых валов полностью аналогична задаче о растяжении (сжатии) составных брусьев.

Например, из рис.18.13 вытекает, что

. (18.13)

(сравни рис.18.13 с рис.18.13), а также формулы (18.10), (18.12) с (18.13)).

рис.18.13

Примечание 2:

При изображении эпюр крутящих моментов имеет место следующее правило контроля: там где есть сосредоточенный момент, там есть скачок на величину этого момента. Это правило легко проследить на примере, приведенном на рис.18.14.

рис.18.14