Кручение стержней открытого профиля

Рассмотрим. кручение стержней с прямоугольным сечением.

рис.18.29

Точное решение получено Сен-Венаном. Но можно получить приближенное решение и инженерными методами, считая, что стержень – это совокупность круглых валов, как это показано на рис.18.30.

рис.18.30

Введем систему координат (см. рис. рис.18.29). Если считать, что напряжения не меняются по ширине рассматриваемого прямоугольника, а только по высоте, то получим:

. (18.28)

рис.18.31

Разбив площадь на микроплощадки и вычисляя силу , которая действует на нее, можно подсчитать момент, который создает сила . Например, от горизонтальных напряжений момент будет

. (18.29)

Приравнивая сумму всех моментов крутящему моменту можно найти выражение для :

. (18.30)

Здесь: .

Формулу для теперь можно записать в виде, аналогичном случаю круглых валов (см.формулу (18.5)):

, где (18.31)

Для угла закрутки стержня прямоугольного сечения формула имеет вид:

(18.32)

Здесь в отличие от круглых валов (см.формулу (18.10)) в знаменателе есть коэффициент 2.

Если стержень состоит из нескольких прямоугольников (см.рис.18.16), то выкладки (18.28) – (18.31) будут такими же. Изменится только момент инерции . Он будет состоять из суммы моментов каждого прямоугольника:

. (18.33)

Сравнивая (18.31) с (18.19) можно заметить, что в отличие от тонкостенных стержней замкнутого профиля в стержнях с открытым профилем максимальные напряжения возникают там, где , т.е. там, где стенка является наиболее толстой. Значит и разрушение начнется в самом толстом месте сечения.

Отметим, что стержни с замкнутым профилем намного прочнее и жестче, чем стержни с открытки профилем. Для примера можно рассмотреть трубу квадратного сечения ширины а, постоянной толщины t (см. рис.18.28). Тогда .

Вычислим напряжение и угол закрутки для трубы с замкнутым контуром:

, .

Если же разрезать трубу вдоль оси (например, вдоль ребра), то получим стержень с открытым контуром. Вычислим максимальное напряжение (которое будет при ) и угол закрутки. Учитывая, что получим:

. .

Найдем отношения напряжений и углов закрутки , :

, .

Видно, что при малых t напряжение и угол будут гораздо больше. Например, если положить а = 20 см., t = 1мм., то получим

, .

Можно сказать, что после разреза трубы прочность понизилась в 300 раз, а жесткость в 30000 раз.