Переходный процесс в электрической цепи, описываемой дифференциальным уравнением 2-го порядка.

Рассмотрим процесс включения электрической цепи, содержащей сопротивление, индуктивность и емкость.

Дифференциальное уравнение, связывающее ЭДС и ток в такой цепи имеет следующий вид:

или

.

Переходный ток ищем в виде суммы принужденной и свободной составляющих

, где

определяется исходя из характера e(t), а ищется в виде суммы экспонент

.

Таким образом

, где

р₁ и р₂ – корни характеристического уравнения, а А₁ и А₂ – постоянные интегрирования.

Характеристическое уравнение имеет вид:

или

.

Находим корни характеристического уравнения:

.

Введем обозначения

; , тогда

.

Для определения постоянных интегрирования необходимо знать характер e(t).

Пусть e(t)=E – const, т.е. рассматриваем включение цепи R, L, C к источнику постоянной ЭДС.

1) Определим . Т.к. цепь содержит емкость и включается к источнику постоянной ЭДС то .

2) Запишем переходный ток

.

3) Определим независимые начальные условия

4) По законам коммутации

5) При t=0 имеем:

.

6) Вычислим .

7) Таким образом, для определения постоянных интегрирования имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

8) Определим (зависимое начальное условие) по закону Кирхгофа.

. Т.к. , то

9) Определим А₁ и А₂.

10) Запишем переходной ток.

Проанализируем поведение переходного тока при различных соотношениях между корнями характеристического уравнения.

1) Корни вещественные и различные, т.е. р₁≠ р₂.

р₁> р₂

Т.к. то в этом случае

, т.е. , .

Тогда:

Такой характер переходного тока называется апериодическим.

2) Корни вещественные и равные, т.е. .

; ; .

Подстановка корней р₁=р₂=р в выражение для переходного тока приводит к неопределенности вида .

Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получаем:

К этому же выражению приходим, рассматривая общее решение однородного уравнения с кратными корнями:

.

Найдем А₁ и А₂.

, т.к. и .

Тогда .

Вычислим производную .

.

, но (определялось нами ранее).

Таким образом, .

Окончательно получаем:

.

Эта функция с одной стороны линейно возрастает с возрастанием t, а с другой стороны убывает по экспоненциальному закону .

При малых значениях t возрастание по линейному закону имеет большее значение, чем убывание по экспоненциальному. При больших значениях t убывание по экспоненциальному закону становится преобладающим.

Таким образом, переходный ток с течением времени возрастает, достигает максимума, а затем убывает.

При этом процесс остается апериодическим.

3) Корни комплексно-сопряженные.

; ; .

Тогда .

, где - частота свободных колебаний, откуда .

Рассматривая корни в комплексной плоскости, устанавливаем, что они расположены в левой полуплоскости на дуге окружности с радиусом, равным .

Определим переходный ток в цепи:

, где

; .

После подстановки значений корней р₁ и р₂ получаем:

Учитывая, что , получаем:

.

Полученное выражение показывает, что в цепи возникают колебания с угловой частотой . Амплитуда этих колебаний, равная , убывает по экспоненциальному закону, т.е. рассматриваемые колебания являются затухающими.

Подведем некоторые итоги:

1) Если , то переходный процесс перестает быть апериодическим и имеет колебательный характер. Частота называется угловой частотой свободных или собственных колебаний в цепи R, L, C. - период этих колебаний.

2) Сопротивление , при котором характер переходного процесса все еще остается апериодическим, называется критическим сопротивлением.

3) О характере переходного процесса можно судить по корням характеристического уравнения или по их расположению на комплексной плоскости.

4) Если корни характеристического уравнения отрицательные, вещественные и различные (располагаются на вещественной оси в левой полуплоскости), то переходный процесс имеет апериодический характер.

5) Если корни характеристического уравнения отрицательные, вещественные и равные (располагаются в одной и той же точке вещественной оси в левой полуплоскости), то переходный процесс еще сохраняет апериодический характер.

6) Если корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные (располагаются в левой полуплоскости на полуокружности с радиусом ), характер переходного процесса – затухающие колебания. Колебания в цепи возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей в сопротивлении.

Величина называется коэффициентом затухания. При времени амплитуда колебаний в «е» раз меньше начального значения. Следовательно, - является постоянной времени цепи R, L, C.

Чем меньше по сравнению с , тем медленнее затухают колебания и тем больше частота приближается к резонансной частоте .

В пределе, при . Колебания не затухают, а корни характеристического уравнения становятся чисто мнимыми и располагаются на мнимой оси комплексной плоскости.

О быстроте затухания колебательного процесса судят по величине , где t=T_CB. Величина называется декрементом колебания (от лат. decrementum – затухание, уменьшение).

Натуральный логарифм этой величины называется логарифмическим декрементом колебания, т.е. .

Декремент колебания можно определить по графику переходного процесса, как отношение двух амплитуд колебания, отстоящих одна от другой на период свободных колебаний.

; .