Степенные ряды. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функциональным рядом называют выражение

,

члены которого являются функциями от x, определенными на некотором множестве X.

Если задать переменной числовое значение , то получится числовой ряд ,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество значений , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от переменной и определяется как

.

Например, ряд

сходится, если (члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем ), и расходится, если .

Областью сходимости ряда служат два промежутка и .

Одним из видов функциональных рядов являются степенные ряды, которые записывают:

,

где - последовательность действительных чисел, коэффициенты ряда; - центр области сходимости ряда.

Если степенной ряд принимает вид:

.

Рассмотрим свойства степенных рядов на примере ряда (*), т.к. любой степенной ряд общего вида легко преобразовать к виду (*) подстановкой .