Признак Даламбера. Пусть для числового ряда с положительными членами , существует предел ,

Пусть для числового ряда с положительными членами , существует предел ,

то при l< 1 ряд сходится, при l> 1 ряд расходится, при l=1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным (надо применить другой признак).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По определению предела для любого существует , что для любого выполняется соотношение

или .

1). Пусть . Выберем так, чтобы число . Тогда, если , и т. д. Отсюда получим, что , , ,....

Ряд сходится, так как члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Тогда по первому признаку сравнения ряд

также сходится. Этот ряд получен из ряда после отбрасывания первых членов (остаток ряда). Значит, ряд сходится (свойство 3).

2). Пусть . Тогда, начиная с некоторого номера, будет выполняться неравенство (если выбрать достаточно малым).

Из этого неравенства следует, что каждый последующий член ряда будет больше предыдущего , а т.к. они положительны, то предел общего члена ряда не может быть равен нулю. Следовательно, в силу необходимого признака сходимости, ряд расходится.

3). Пусть l =1. Возьмем два известных ряда: .

В том и другом случае , но при этом один ряд сходится, а другой расходится. Поэтому в случае, когда этот предел равен 1, необходимо применять другой признак для решения вопроса о сходимости ряда.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд числовой .

РЕШЕНИЕ

Общий член этого ряда имеет вид .

Для того чтобы найти й член ряда , вместо n в выражение подставим n +1: .

Вычислим предел

.

Т.к. , а то после сокращения получим

.

По признаку Даламбера, если то ряд сходится.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость числовой ряд .

РЕШЕНИЕ.

Общий член ряда . Запишем последующий член ряда . Найдем предел отношения

.

Т.к. то по признаку Даламбера ряд расходится.