Пример.

Пусть население некоторого территориального образования составляет на данный момент времени человек. Предполагая, что скорость прироста населения пропорциональна его начальному количеству, найдем закон, по которому можно определить количество населения в любой другой год.

РЕШЕНИЕ.

Учитывая, что скорость изменения величины есть производная , и, обозначив коэффициент пропорциональности через k, получим дифференциальное уравнение: . Преобразуем его к виду: .

Проинтегрировав, , получим общий интеграл или .

Пусть в рассматриваемый (начальный) момент времени t₀=0 население составило 200 тыс. человек. При благоприятных условиях ежегодный прирост составил 2%. Определить количество населения через 10 лет.

Итак: t₀ = 0, x₀ = 200 подставляя в функцию , находим, что =200, то есть .

Т.к. ежегодный прирост составил 2%, то

при t₁ = 1.

Используя полученные значения x₁ и t₁, найдем k из уравнения : , .

Поэтому уравнение примет вид:

.

Через 10 лет населения составит:

,

ПРИМЕР. При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его имеющейся массе. Через 2 часа после начала брожения масса фермента составила 2 г, а через 3 часа – 3 г. Какова была первоначальная масса фермента?

РЕШЕНИЕ

Обозначим через - время, - массу фермента после часов после начала брожения. Тогда скорость прироста действующего фермента равна .

По условию скорость роста фермента пропорциональна его массе, поэтому где - коэффициент пропорциональности. Таким образом, получили дифференциальное уравнение . Найдем общее решение этого уравнения с разделяющимися переменными

Полученное равенство выражает зависимость массы фермента от времени брожения .

Чтобы найти содержащиеся в этом равенстве постоянные, используем заданные условия

Подставив эти условия в, получим систему, из которой найдем и :

Теперь равенство примет вид . Равенство дает возможность вычислить массу фермента в любой момент времени .