Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка

,

можно свести к уравнению первого порядка с помощью подстановки:

,

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .

РЕШЕНИЕ.

Положим, , тогда . Подставим в уравнение:

.

Это линейное уравнение первого порядка относительно функции . Решим его методом Бернулли. Разделим обе части уравнения на множитель

и будем искать в виде . Тогда . Подставим в уравнение:

, .

Составим систему уравнений

1 этап: решим первое уравнение системы и найдем функцию :

Тогда , откуда .

2 этап: подставим полученное выражение для функции во второе уравнение системы и найдем функцию :

Вычислим интегралы, входящие в левую и правую части уравнения

Тогда получим .

3 этап: т.к. то

4 этап: поскольку то получим уравнение или , , ,

Это общее решение исходного уравнения.

III. Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее явным образом независимой переменной , т.е. уравнение вида

.

Это уравнения можно привести к уравнению 1-го порядка с помощью подстановки . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции .

ПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения .

РЕШЕНИЕ

Уравнение не содержит явным образом независимую переменную , поэтому введем новую переменную . Тогда . Подставим и в уравнение и получим: . Уравнение распадается на два: и .

Из первого уравнения следует, что или .

Второе уравнение с разделяющимися переменными: .

Общий интеграл уравнения . Применим свойства логарифмов и получим, что . Тогда . Подставим в решение и получим, что .

Вновь пришли к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Тогда общий интеграл исходного уравнения имеет вид

и .