Называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Такое уравнение подстановкой , , сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

РЕШЕНИЕ

Убедимся, что это уравнение однородное, для чего разделим правую часть уравнения (числитель и знаменатель) на . Получим уравнение:

.

После подстановки: , или в дифференциальной форме уравнение примет вид: .

Перенесем в правую часть и приведем дроби к общему знаменателю, т.е. , , .

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные и найдем интегралы:

или ,

, , .

Выполним обратную подстановку и получим общее решение уравнения:

.

ПРИМЕР. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию

РЕШЕНИЕ.

Если в уравнении перенести слагаемое в правую часть, то уравнение примет вид , т. е. оно является однородным. Введем новую переменную и подставим и в исходное уравнение: или .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на , а затем разделим на (): .

Найдем интеграл от левой и правой части уравнения ,

Таким образом, общий интеграл получен: Сделаем обратную замену

Чтобы найти частное решение уравнения, подставим в общий интеграл начальные условия : . Отсюда . Подставим найденное значение в общий интеграл уравнения и получим частное решение исходного уравнения:

.