Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть имеется дуга некоторой кривой, впишем в неё ломаную линию, и будем увеличивать число звеньев ломаной таким образом, чтобы наибольшая из длин отрезков стремилась к нулю (рис. 21). Если при этом периметр ломаной будет стремиться к определенному пределу, не зависящему от того, какие ломаные мы вписываем, то дуга называется спрямляемой, а предел - длиной этой дуги.

Рассмотрим задачу о вычислении длины дуги кривой , заданной в декартовой системе координат, если - дифференцируемая функция, имеющая непрерывную производную в промежутке , причем точкам и соответствуют значения и .

Пусть - вписанная ломаная. Её вершинам соответствуют значения и . Произвольно выберем отрезок и вычислим его длину (рис. 22): , где , , .

По теореме Лагранжа о конечных приращениях

.

Подставим и получим

.

Для периметра всей ломаной получим формулу:

,

и так как длина дуги по определению равна пределу данной интегральной суммы, можем записать

.

При параметрическом способе задания кривой

так как , а , имеем

,

где и - значения параметра на концах дуги, причём , .

В случае если кривая задана в полярных координатах , длина дуги ,

где и - значения аргумента на концах дуги кривой.

ПРИМЕР. Найти длину дуги кривой , если изменяется от 0 до 1.

РЕШЕНИЕ

Воспользуемся формулой . Найдём : . Подставим полученную производную в формулу длины дуги, тогда

.

Вычисление объёмов

Рассмотрим тело, ограниченное замкнутой поверхностью. Пересечём его плоскостью, перпендикулярной к любой из его осей, например к оси . Будем считать, что площадь сечения является заданной функцией его расстояния от начала координат. Предположим, что тело заключено между двумя плоскостями и . Объём такого тела вычисляется по формуле

.

Если тело, объём которого предстоит вычислить, получено в результате вращения непрерывной кривой с уравнением вокруг оси , то в сечении получается круг радиуса (рис. 23). Следовательно, площадь поперечного сечения ,

а объём

.

Если вращение происходит вокруг оси , то ,

где - уравнение непрерывной кривой, и - ограничивающие плоскости.

ПРИМЕР. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , , вокруг оси (рис. 24).

РЕШЕНИЕ

Тело, полученное в результате вращения фигуры (криволинейной трапеции), является параболоидом вращения. Его объём можно вычислить по формуле

.