Применение определенных интегралов к вычислению площадей

1. Рассмотрим фигуру (рис.13), ограниченную линиями , , и , где непрерывная на отрезке неотрицательная функция . Площадь такой фигуры вычисляется по формуле

.

2. Если на (рис. 14), то , а так как площадь фигуры есть величина положительная, то

или .

3. Рассмотрим замкнутую фигуру (рис. 15), ограниченную кривыми

, и двумя вертикальными прямыми и .

Тогда площадь S можно вычислить как разность площадей криволинейных трапеций:

и ,

т.е. или .

ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

(рис. 16).

РЕШЕНИЕ

Используем формулу .

Тогда .

.

ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями и .

РЕШЕНИЕ

Чтобы найти область интегрирования, найдем точки пересечения параболы и прямой. Исключим неизвестную и получим квадратное уравнение

.

Следовательно, кривые пересекаются в точках с координатами и .

Используем формулу для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми :

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениями где и дифференцируемые функции, то

.

Справедливость формулы следует из правила замены переменной в определённом интеграле в предположении, что при и при .

ПРИМЕР. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрическими уравнениями:

РЕШЕНИЕ

Эллипс – фигура, симметричная относительно осей координат. Для упрощения вычислений найдем площадь четверти эллипса. Пусть переменная изменяется от до . Подставим в уравнение , тогда , и . Если , то и , т. е. , а . Поэтому площадь равна:

.

Рассмотрим фигуру , ограниченную линией , заданной в полярных координатах , и двумя лучами: и . Функция положительная и непрерывная для всех , удовлетворяющих неравенству .

Чтобы вычислить площадь криволинейного сектора , разобьём его лучами на элементарных секторов (см. рис. 19). Криволинейный сектор заменим круговым сектором . Его площадь равна , где - центральный угол кругового сектора , - радиус окружности. Так как мы имеем секторов, то площадь ступенчатой фигуры равна

.

Увеличивая число разбиений таким образом, чтобы получим, что .

ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченную лемнискатой (рис.20).

РЕШЕНИЕ

Воспользуемся симметричностью фигуры и вычислим четвёртую часть площади. Угол изменяется от до , следовательно, площадь равна

.

Площадь всей фигуры: .