Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Несобственный интеграл от неограниченной функции
|
|
К другому типу относятся несобственные интегралы, содержащие под знаком интеграла функцию, терпящую разрыв в какой-либо точке из области интегрирования.
Рассмотрим функцию 
непрерывную для всех значений 
в промежутках 
и 
, неограниченную в любой окрестности точки 
отрезка 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом от неограниченной функции 
на промежутке называют
.
Если пределы в правой части равенства существуют и конечны, то интеграл называют сходящимся, в противном случае расходящимся.
ПРИМЕР. Вычислить несобственный интеграл 
(или установить его расходимость).
РЕШЕНИЕ
Степенная функция 
определена на бесконечном промежутке 
и интегрируема на любом конечном промежутке 
, поэтому
.
Несобственный интеграл расходится.
ПРИМЕР. Вычислить несобственный интеграл 
.
РЕШЕНИЕ
.
Интеграл сходится.
ПРИМЕР. Вычислить 
.
РЕШЕНИЕ
В точке 
подынтегральная функция 
терпит бесконечный разрыв, поэтому
.
Интеграл расходится.
ПРИМЕР. Вычислить 
.
РЕШЕНИЕ
В точке подынтегральная функция 
неограниченна (рис.12), поэтому проинтегрируем функцию на промежутке 
, а затем вычислим предел, если 
:
.
Интеграл сходится. Геометрически это значит, что площадь незамкнутой фигуры, ограниченной линиями 
, равна 2 кв. ед..
ПРИМЕР. Вычислить несобственный интеграл 
.
РЕШЕНИЕ
Функция 
имеет бесконечный разрыв в точке 
, которая лежит внутри промежутка 
. Представим исходный интеграл в виде суммы интегралов и вычислим каждый из них. Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части равенства.
,
.
Так как один из интегралов расходится, то можно утверждать, что исходный интеграл расходится.