Интегрирование рациональных функций

Рассмотрим интеграл от рациональной функции .

Целая рациональная функция представляет собой многочлен степени n, общий вид которого: .

Тогда: .

ПРИМЕР. Вычислить неопределенный интеграл .

РЕШЕНИЕ

.

Дробно-рациональная функция представляет собой отношение многочленов, т.е. , здесь и - многочлены степени и соответственно.

Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе , то дробь называют правильной , если - неправильной.

Всякую дробно-рациональную функцию можно представить в виде суммы целой части, если дробь неправильная, и простых рациональных дробей. Целая часть, т. е. многочлен, интегрируется почленно. Интегрирование простых дробей рассмотрим ниже.

К простым дробям относят дроби вида:

1. , 2. (),

3. , 4. (),

здесь - постоянные коэффициенты, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Найдем интегралы для первых трех видов дробей:

1. .

2. .

3. .

Выделим в числителе производную знаменателя и представим интеграл в виде суммы двух интегралов, т.е.

применим формулу

выделим полный квадрат

сводится к табличному

Приемы интегрирования простых дробей четвертого типа можно найти в дополнительной литературе.

Разложение правильной дроби на простые дроби связано с разложением её знаменателя на простые множители.