Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод подстановки (замены переменной)
|
|
ТЕОРЕМА 4. Если 
является первообразной для функции 
на некотором промежутке 
, а 
дифференцируемая на промежутке 
функция, значения которой принадлежат , то 
– первообразная для функции 
, где 
и
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть имеет первообразную , т.е. 
. Тогда
.
Если x = φ (t), где φ (t) – дифференцируемая функция, то в силу инвариантности формы первого дифференциала имеем следующую «цепочку» равенств:
.
Проинтегрируем первое и последнее звено «цепочки» и получим:
.
ПРИМЕРЫ. Вычислить неопределенные интегралы.
1). 
.
РЕШЕНИЕ
Заменим переменную 
функцией 
, т.е. 
, тогда 
и
,
перейдем к исходной переменной. Если , то 
, следовательно, имеем: * = 
.
2). 
.
РЕШЕНИЕ
Аналогично предыдущему примеру получим
.
3). 
.
РЕШЕНИЕ
Выполним подстановку 
, тогда 
и
.
ТЕОРЕМА 5. Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
, а – функция, определенная на промежутке 
и дифференцируемая на нем; причем 
, 
. Тогда
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По теореме 4 
.
Значит 
, т.е. 
.
ПРИМЕРЫ. Вычислить определенные интегралы.
4). 
.
РЕШЕНИЕ
Сделаем подстановку 
и найдем новые пределы интегрирования
.
ЗАМЕЧАНИЕ: Если при вычислении неопределенного интеграла методом подстановки необходим переход к исходной переменной, то в определенном интеграле этого не требуется.
5). 
.
РЕШЕНИЕ
Сделаем подстановку 
и найдем новые пределы интегрирования
.