Интегрирование тригонометрических функций

Пусть дано выражение, зависящее, и притом рационально, только от тригонометрических функций. Так как все тригонометрические функции выражаются через и , то это выражение можно считать рациональной функцией от и . Рассмотрим приёмы интегрирования некоторых из них.

1. Интегралы вида всегда могут быть рационализированы с помощью подстановки .

Тогда .

ПРИМЕР. Найти интеграл .

РЕШЕНИЕ

Сделаем подстановку и подставим в интеграл соотношения и .

Получим .

2. Интегралы , и легко вычисляются, если преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму.

ПРИМЕР. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ

Воспользуемся формулой

.

Тогда

.

3. При нахождении интегралов вида используют различные приемы в зависимости от показателей и .

ПРИМЕР. Найти .

РЕШЕНИЕ

Если и целые числа, и хотя бы одно из них положительное и нечетное, то подстановка (если и нечетное) или (если и нечетное) приводит к интегрированию степенных функций.

В данном случае , поэтому сделаем подстановку . Тогда и интеграл примет вид:

.

ПРИМЕР. Найти интеграл .

РЕШЕНИЕ

Если оба показателя и положительные и четные, то применяются тригонометрические формулы

.

.

Изученные нами методы интегрирования состоят в преобразованиях, приводящих интеграл к заранее известному интегралу, т. е. находящемуся в таблице интегралов. До сих пор мы пользовались краткой – основной-таблицей интегралов. На практике часто используются различные справочники и таблицы часто встречающихся интегралов.

В отличие от дифференцирования, операция интегрирования непрерывных функций не всегда позволяет найти элементарную функцию, являющуюся первообразной для заданной функции. Доказано, что всякая непрерывная функция имеет первообразную, но существуют такие элементарные функции, интегралы от которых не выражаются никакими конечными комбинациями основных элементарных функций или имеют весьма сложный и неудобный для вычислений вид. Такие интегралы называют “неберущимися”. Например, интегралы

,

нельзя представить никакой конечной комбинацией элементарных функций. В этих случаях применяются различные способы приближённого вычисления интегралов.