Непосредственное интегрирование

Этот метод интегрирования основан на знании таблицы основных интегралов, свойствах интегралов и простейших преобразованиях.

ПРИМЕРЫ. Найти неопределенные и определенные интегралы.

1). .

РЕШЕНИЕ

Применим свойства 1 и 2, а также формулу (1) из таблицы интегралов для степенной функции, тогда

.

Результат интегрирования можно проверить дифференцированием: .

2). .

РЕШЕНИЕ

Раскроем скобки под знаком интеграла и, проинтегрировав функцию почленно (применим свойства 1 и 2), получим

.

Проверка:

.

3). .

РЕШЕНИЕ

Выполним почленное деление, применим свойства 1 и 2

.

Проверка: .

4). .

РЕШЕНИЕ

Раскроем скобки и проинтегрируем функцию почленно

Это первый способ, но можно решить и другим способом.

Обратим внимание, что , тогда

.

Этот интеграл можно рассматривать как , следовательно: .

Проверка: .

5). .

РЕШЕНИЕ

( - интеграл вида ).

Вообще: .

Рассмотренный метод называют внесением под знак дифференциала.

6). .

РЕШЕНИЕ

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, выделив производную знаменателя

( - интеграл вида ).

7). .

РЕШЕНИЕ

Применим свойство 1 и формулу Ньютона-Лейбница, тогда

.