Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Определенный интеграл
|
|
Рассмотрим непрерывную на промежутке 
функцию 
. 
Разобьем отрезок на n частей и составим интегральную сумму:
,
где по-прежнему 
, 
.
Найдем предел интегральной суммы, если 
, а 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определенным интегралом функции 
в промежутке от 
до 
называется конечный предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм, если число разбиений 
стремится к бесконечности, а длина наибольшего частичного интервала стремится к нулю, и обозначается символом 
.
В случае существования такого предела функция называется интегрируемой в промежутке .
Знак интеграла 
- стилизованная буква S (сумма), и – граничные точки области интегрирования – называют соответственно нижним и верхнимпределами интегрирования, – подынтегральная функция, 
– подынтегральное выражение. При постоянных пределах интегрирования определенный интеграл представляет собой постоянное число.
Применяя определение интеграла к задаче о вычислении площади криволинейной трапеции, можно записать, что
, если 
.
ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
(рис.8).
РЕШЕНИЕ
I этап.
1. Разобьем промежуток интегрирования 
на 5 равных частей.
2. Для простоты выберем точки 
в левом конце отрезков:
= 0, 0; 
=0, 2; 
=0, 4; 
=0, 6; 
=0, 8.
3. Значения функции в точке 
будут равны 
.
4. Построим интегральную сумму
.
Получим, что 
.
II этап. Разобьем интервал интегрирования на 10 частей и аналогично, выбрав точки , 
, получим, что 
.
III этап. Если разобьем интервал на 100 частей, то 
.
В дальнейшем покажем, что точное значение площади равно 1/3. В данном примере уже после третьего разбиения видно, что S→ 1/3, но решение задачи было трудоемким. Поэтому необходимо использовать более простые приемы.