Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
|
|
Предположим, что в каждой точке М некоторой области D задано значениескалярной величины 
, т. е. такой величины, которая полностьюхарактеризуется своим числовым значением. Например, это может быть температура точек неравномерно нагретого тела, плотность распределения электрических зарядов, потенциал электрического поля и т. д. При этом называют скалярной функцией точки и записывают 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в области D задана скалярная функция точки 
, то говорят, что в этой области задано скалярное поле.
Если скалярное поле отнесено к системе координат 
, то задание точки М равносильно заданию ее координат 
.
Поверхностью уровня скалярного поля называют геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, т. е. 
, в зависимости от физического смысла поля они могут называться изотермическими, изобарическими и т. п.
Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.
Пусть задано скалярное поле, т. е. задана функция 
. Возьмем точку 
и некоторое направление 
, определяемое направляющими косинусами 
. При перемещении в данном направлении точки в точку 
функция получает приращение
,
которое называют приращением функции в данном направлении. Величину перемещения точки обозначим через 
, тогда можно записать, что
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции в направлении называют предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при условии, что перемещение стремится к нулю
.
Вычислить производную по направлению можно, используя следующую теорему:
ТЕОРЕМА. Если функция дифференцируема, то ее производная 
по любому направлению существует и равна
,
где 
- направляющие косинусы направления .
ПРИМЕР. Найти производную функции 
в точке 
по направлению, идущему от точки 
к точке 
.
РЕШЕНИЕ
Найдем единичный вектор e, соответствующий направлению 
:
,
,
.
Частные производные функции 
равны:
.
Вычислим частные производные в точке и найдем производную по направлению из равенства
,
получим 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом функции называют вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, т. е.
.
Используя определение градиента, формулу производной по направлению можно записать в виде:
,
где 
- единичный вектор направления .
Меняя направление , мы будем получать различные значения производной , причем наибольшее значение наблюдается, когда направление совпадает с вектором 
. Таким образом, определяет направление, в котором скорость возрастания функции является наибольшей.
Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в данной точке.
ПРИМЕР. Дано скалярное поле 
. Составить уравнение линии уровня 
. Вычислить с помощью градиента производную скалярного поля в точке 
по направлению вектора 
. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке 
.
РЕШЕНИЕ
Поверхностью уровня (линией уровня) данного скалярного поля является окружность с центром в точке 
, радиуса 1:
, 
.
Градиент функции равен: 
.
Найдём единичный вектор направления 
: 
, а затем производную скалярного поля по направлению в точке :
, 
.
Так как 
, то данное скалярное поле возрастает по направлению вектора со скоростью равной 1.
Теперь найдём производную по направлению 
:
, 
. 
Наибольшая скорость возрастания скалярного поля в точке равна 2.