Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Производные и дифференциалы
|
|
Рассмотрим функцию 
, если изменяется только один из аргументов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Частной производной функции по аргументу 
в точке 
называют предел
и обозначают одним из символов: 
.
Аналогично определяется частная производная 
по аргументу 
:
.
По определению, каждая частная производная является фактически производной функции одной переменной: 
(где у = const), 
(где = const). Поэтому при вычислении частных производных можно пользоваться уже известными правилами и формулами дифференцирования функции одной переменной, считая при этом другую переменную фиксированной.
Пример. Найти частные производные функции 
.
РЕШЕНИЕ
Имеем
( фиксировано);
( фиксировано).
Пример. Дано 
. Найти 
и 
, вычислить их значения в точке А (1; 2).
РЕШЕНИЕ
Имеем 
(при фиксированном производная первого слагаемого находится как производная степенной функции, а второго - как производная постоянной);
(при фиксированном производная первого слагаемого находится как производная показательной функции).
Вычислим значения частных производных в точке А (1; 2):
; 
.
Аналогично определяются функции трех и более переменных. Если каждому набору значений (x; y; …; t) независимых переменных из множества D соответствует одно определенное значение u из множества E, то u называют функцией переменных x, y, …, t и обозначают u = f(x, y, …, t).
Для функции трех и более переменных геометрической интерпретации не существует.
Частные производные нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.
Пример. Найти частные производные функции 
.
РЕШЕНИЕ
Имеем 
(у и z фиксированы); 
( и 
фиксированы); 
( и y фиксированы).
Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной - это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.
Пример. Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией П = N2/R, где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстояние между пунктами.
Частная производная функции П по R, равная 
, показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.
Частная производная функции П по N, равная 
, показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населенных пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полным дифференциалом функции называют главную линейную часть полного приращения функции, линейную относительно приращений независимых переменных.
Обозначая дифференциал буквой 
, можно записать 
, 
,
где 
не зависят от 
, 
- бесконечно малые при 
.
Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.
Сформулируем без доказательства достаточное условие дифференцируемости функции.
ТЕОРЕМА. Если функция 
имеет непрерывные частные производные и в данной области, то она дифференцируема в этой области и ее дифференциал выражается формулой
Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называют частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначают:
.
Сумма частных дифференциалов дает полный дифференциал.
Пример. Найти полный дифференциал функции 
.
РЕШЕНИЕ
Найдем частные производные функции и запишем полный дифференциал:
, 
,
.
Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует ее непрерывность в этой области, но не наоборот.
Частные производные и функции f(x, y) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называют частными производными высших порядков. Каждая производная первого порядка имеет две частные производные, которые обозначают так:
, 
,
, 
.
Производные 
называют смешанными производными.
Теорема. Если смешанные производные 
и 
непрерывны в некоторой открытой области, то они равны между собой.
Другими словами, для непрерывной смешанной производной порядок дифференцирования не играет роли.
Пример. Убедиться в равенстве смешанных производных 
и 
для функции 
.
РЕШЕНИЕ
В любой точке 
имеем
Как и следовало ожидать, 
.
Частные производные от производных второго порядка называют частными производными третьего порядка и т. д.
Аналогично определяются частные производные высших порядков для функций любого числа независимых переменных.