Задача, приводящая к понятию определенного интеграла

Пусть задана положительная непрерывная функция . Рассмотрим эту функцию, если изменяется на промежутке . Восстановим перпендикуляры из точек и до пересечения с кривой. Получим фигуру, ограниченную осью , графиком непрерывной функции и двумя прямыми и (рис.7). Область такого вида называют криволинейной трапецией. Вычислим площадь этой фигуры.

Для этого разобьем промежуток на n частей произвольным образом

точками . Проведем в точках деления промежутка прямые, параллельные оси ординат, и получим частичных трапеций. Возьмем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке и обозначим их через , так что

.

В точках проведем прямые, параллельные оси , до пересечения с линией ; отрезки этих прямых соответственно равны , , , .

На частичных интервалах построим прямоугольников с высотой и основанием , . Площадь каждого такого прямоугольника равна .

Если просуммировать площади прямоугольников, то получим площадь ступенчатой фигуры , которая приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е. .

Если увеличивать число прямоугольников при условии, что наибольшая длина частичного интервала стремиться к нулю, то площадь - ступенчатой фигуры будет давать более близкое значение к площади криволинейной трапеции, т.е. → , если и .

Таким образом,

.