Комплексная плоскость

Комплексные числа можно изобразить на плоскости. Для этого выбирают систему декартовых координат , , после чего любое комплексное число отождествляется с радиус-вектором точки (рис. 5). Такую плоскость называют комплексной плоскостью.

Действительные (вещественные) числа являются частным случаем комплексных чисел, если в формуле положить . Они изображаются точками на вещественной оси, т. е. оси . Если у комплексного числа отсутствует действительная часть , то его называют чисто мнимым и изображают на мнимой оси, т.е. оси .

На рис.6 показаны комплексные числа , и .

На комплексной плоскости часто рассматривают также полярные координаты и точки . Их называют модулем и аргументом комплексного числа и обозначают , (рис. 5). Связь между модулем и аргументом комплексного числа и его действительной и мнимой частями устанавливается известными формулами:

, , ,

, , .

Заменяя и в алгебраической форме комплексного числа , их выражениями через и , получим так называемую тригонометрическую форм у комплексного числа:

.

Модуль любого комплексного числа имеет вполне определенное значение, тогда как аргумент определен с точностью до целого числа полных оборотов. Поэтому значение полярного угла , которое удовлетворяет неравенству , называется главным значением а ргумента , а функция , где – общим значением аргумента.

ПРИМЕР. Найти корни уравнения .

Решение

Для решения квадратного уравнения с вещественными коэффициентами воспользуемся известной формулой

.

Уравнение имеет два комплексных корня и .

ПРИМЕР. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:

a) , б) , в) .

Решение

а) Найдем модуль и аргумент числа . Так как действительная часть комплексного числа , а мнимая часть , то

, .

Для определения угла следует помнить, что тангенс угла принимает положительные значения в первой и третьей четвертях. Для определения четверти можно изобразить точку , соответствующую числу на комплексной плоскости, и поскольку она лежит в третьей четверти, то . Отсюда можно записать комплексное число в тригонометрической форме .

б) Если , то , а .

Отсюда:

в) Если , то , .

Отсюда: .