Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Общие сведения. В предыдущих разделах рассматривалось совместное изменение двух переменных, одна из которых зависела от другой
|
|
В предыдущих разделах рассматривалось совместное изменение двух переменных, одна из которых зависела от другой. В науке нередки случаи, когда для определения значения некоторой величины необходимо установить значения, совместно принимаемые несколькими независимыми переменными.
Так, например, объём 
кругового цилиндра есть функция от радиуса 
его основания и от высоты 
; зависимость между этими переменными выражается формулой 
, которая даёт возможность определить значение объёма , зная значения двух переменных и .
Изучая физическое состояние какого-нибудь тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке: температуры, плотности, напряжений и т. д. Все эти величины можно рассматривать как функции координат 
точки, то есть как функции от трёх независимых переменных.
Функции, зависящие от двух и более переменных, называют функциями нескольких переменных.
Наиболее часто приходится иметь дело с функцией от двух переменных. Рассмотрим на плоскости Oxy некоторое множество точек с координатами 
иобозначим его через D.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величину 
называют функцией независимых переменных 
и 
на множестве D, если каждой паре этого множества по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение величины .
Множество D называют областью определения функции . Переменные и по отношению к функции называют ее аргументами. Функции нескольких переменных могут быть заданы в явном и неявном виде. Функциональная зависимость между и , обозначается различными способами: 
, 
, 
и т.д.
Если пара 
взята из области 
, то 
называют частным значением функции 
, которое она принимает, когда 
.
Пример. Найти область определения функции 
. Найти частное значение функции в точке 
.
РЕШЕНИЕ
Квадратный корень определён в случае, если подкоренное выражение является неотрицательным. Поэтому функция определена при тех действительных значениях переменных и , для которых одновременно выполняются следующие условия: 
и 
. Геометрическое изображение решения системы неравенств (область определения функции) представлено на рис. 1.
Частное значение функции в точке 
равно 
.
В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x, у) плоскости.
Подобно тому, как функция 
геометрически изображается графиком, можно геометрически задать функцию 
, ставя в соответствие каждой точке 
аппликату . Мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трехмерного пространства – чаще всего некоторую поверхность. Поэтому равенство называют уравнением поверхности.
Пример. Пусть задана функция 
. Ее область определения найдем из неравенства 
, т.е. 
. Это круг с центром в начале координат и радиусом r (рис. 2). Графиком функции являетсяверхняя половина сферы 
(разрешив уравнение сферы относительно z, получим две однозначные функции : и 
).
Рассмотрим функцию и точку 
. Полным приращением функции в точке 
называют разность 
.
Если изменение функции происходит при изменении только одного из аргументов, например х, при фиксированном значении другого аргумента - у, то функция получит приращение
,
которое называют частным приращением функции 
по х.
Также задается частное приращение по переменной : 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию называют непрерывной в точке 
, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениям и соответствует бесконечно малое приращение , т.е.
, где .
Обозначим 
через , а 
через . Тогда из того, что 
и 
следует, что 
и 
. И условие непрерывности функции можно записать в виде:
или 
.
Это равенство означает, что функция непрерывна в точке , если предел функции равен значению функции в предельной точке.