Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Свойства интегралов
|
|
СВОЙСТВО 1. Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от каждой из функций.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
а). Рассмотрим неопределенный интеграл от суммы двух непрерывных функций. Докажем, что
.
Возьмем дифференциал от левой и правой части равенства
,
.
Результаты дифференцирования равны, следовательно, исходное равенство верно.
б). Рассмотрим теперь определенный интеграл. Покажем, что
.
Доказательство основано на связи определенного и неопределенного интегралов. Пусть 
- первообразная для 
, а 
- первообразная для 
. Тогда 
- первообразная суммы 
.
По формуле Ньютона-Лейбница имеем
.
СВОЙСТВО 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
а). Рассмотрим неопределенный интеграл и покажем, что
.
Найдем дифференциалы от левой и правой части равенства:
, 
.
Результаты дифференцирования равны, следовательно, исходное равенство верно.
б). Рассмотрим определенный интеграл и покажем, что
.
Пусть 
- первообразная для 
, тогда первообразная для функции 
равна 
. По формуле Ньютона-Лейбница можно записать: 
Остальные три свойства относятся только к определенному интегралу.
СВОЙСТВО 3. Если пределы интегрирования совпадают, то интеграл равен 0, т.е. 
.
Справедливость этого свойства следует из геометрического смысла определенного интеграла.
СВОЙСТВО 4. При перестановке пределов интегрирования интеграл умножается на (-1).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Покажем, что 
. По формуле Ньютона-Лейбница
.