Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида 
.
Чтобы привести это уравнение к уравнению с разделёнными переменными, достаточно разделить его на произведение 
:
.
Тогда получим уравнение 
, которое легко интегрируется: 
.
Надо помнить, что деление уравнения на функцию 
может привести к потере частных решений, которые получаются из уравнения 
. Определяя из этого уравнения решение 
, следует проверить, является ли оно решением исходного уравнения. Если не является, то его нужно отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общее решение, т.е. будет ли оно частным решением. Если решение не является частным решением, его называют особым.
ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения 
.
РЕШЕНИЕ
Представим производную 
как 
, тогда уравнение можно записать в дифференциальном виде 
.
Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на 
. Получим равенство, которое проинтегрируем:
, 
, 
.
Это и есть общее решение уравнения.
ПРИМЕР. Найти решение уравнения 
.
РЕШЕНИЕ
Запишем уравнение в виде: 
. Теперь заменим на :
.
Если умножить уравнение на и разделить на 
, то получим уравнение с разделёнными переменными: 
.
Найдем интегралы от обеих частей равенства:
или 
.
Это общий интеграл (решение) дифференциального уравнения. Полученную функцию можно упростить и привести к виду 
.
Проверим, является ли частным решением уравнения функция 
. Подставим и 
в исходное уравнение: 
, получим тождество. Следовательно, функция является решением уравнения. Если общее решение уравнения записать в виде , то функция получится из него, когда 
, т.е. она является частным решением.
ПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения (общее решение)
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: 
.
РЕШЕНИЕ
Это уравнение относится к уравнениям с разделяющимися переменными. Разделим переменные, для чего обе части уравнения поделим на 
:
.
Получим уравнение:
.
Проинтегрируем его:
, 
, 
.
Константу 
для дальнейшего упрощения функций удобно взять в форме 
. Таким образом, общий интеграл запишется в виде
.
В этом уравнении при делении на функцию может быть потеряно решение 
. Но это решение получается из общего решения, если , т.е. является частным решением.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
. Подставим начальные условия в общий интеграл и найдем значение константы : 
, откуда 
. Тогда частное решение запишется в виде: 
.
ПРИМЕР. Найти общий интеграл (общее решение) уравнения
РЕШЕНИЕ
Убедимся, что это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Для этого вынесем за скобки общие множители
.
Теперь разделим обе части уравнения на 
,
и после сокращения получим
Переменные разделены, можно интегрировать:
Найдем каждый интеграл отдельно:
,
Общий интеграл (решение) уравнения примет вид: 
Это выражение можно преобразовать, воспользовавшись свойством логарифмов, тогда получим 
.