Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной
,
г де 
и 
известные функции, непрерывные на некотором промежутке 
.
1. Если 
, то имеем частный случай
, или 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и выполним интегрирование, получим
, 
,
, 
, 
.
Следовательно, 
.
ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения: 
.
РЕШЕНИЕ
Перепишем уравнение в виде 
и разделим переменные 
. После интегрирования получим
, 
.
2. Если 
, то уравнение решается с помощью подстановки Бернулли 
, где 
и 
непрерывные и дифференцируемые функции. Для краткости будем писать 
.
Подставив и 
в уравнение, получим: 
.
Сгруппировав слагаемые, содержащие функцию 
, вынесем за скобку общий множитель, т.е.
.
Поскольку одну из функций или 
можно выбрать произвольно, то подберем функцию так, чтобы выражение в скобке равнялось нулю 
. За функцию принимают любое частное решение этого уравнения. Тогда получим систему:
Найдем 
из первого уравнения системы (уравнение с разделяющимися переменными):
, 
, 
, 
или 
.
Подставим полученный результат во второе уравнение системы:
, 
, 
.
Теперь можно записать общее решение исходного уравнения как произведение и : 
.
ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения 
.
РЕШЕНИЕ
Это уравнение является линейным. Используем для нахождения решения подстановку Бернулли: , . Подставим 
в исходное уравнение и получим:
.
Сгруппировав в левой части второе и третье слагаемые, вынесем множитель за скобку, т.е. 
.
Переходим к системе: 
1 этап: решим первое уравнение системы (это уравнение с разделяющимися переменными)
, 
, 
,
.
Следовательно, 
.
Замечание: произвольную постоянную 
полагают равной нулю, т. к. частное решение уравнения.
2 этап: подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдем функцию 
:
, 
, 
.
3 этап: общеерешение уравнения имеет вид:
.
ПРИМЕР. Найти частное решение дифференциального уравнения 
, если 
.
РЕШЕНИЕ
Разделим обе части уравнения на функцию 
и преобразуем его к виду: 
.
Теперь видно, что уравнение линейное. Применим подстановку Бернулли и получим: 
, 
.
Составим систему уравнений: 
1 этап: найдем функцию 
из первого уравнения системы: 
, 
, 
, 
,
, 
.
2 этап: подставив во второе уравнение, найдем функцию : 
, 
, 
.
3 этап: запишем общее решение уравнения 
.
Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию , подставим в общее решение 
: 
. Отсюда 
и 
.