Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка, коэффициенты которого и постоянные действительные числа

(1)

Запишем, соответствующее ему однородное уравнение:

(2)

Будем искать частное решение уравнения (2) в виде функции , где - постоянная величина, которую нужно подобрать. Тогда

и .

Подставим , и в уравнение (2) и получим, что

.

Так как , то . (3)

Это уравнение называют характеристическим уравнением, его корни определяют те значения , при которых функция является решением однородного дифференциального уравнения.

Квадратное уравнение имеет, вообще говоря, два корня. В зависимости от вида корней характеристического уравнения (3) общее решение однородного уравнения (2) составляется следующим образом:

1). Если уравнение (3) имеет два действительных различных корня (в случае, когда дискриминант ), то общее решение уравнения (2) имеет вид

2). Если уравнение (3) имеет два действительных равных корня (в случае, когда дискриминант ), то общее решение уравнения (2) имеет вид

3). Если уравнение (3) имеет два комплексно-сопряженных корня (в случае, когда дискриминант ), то общее решение уравнения (2) имеет вид .

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .

РЕШЕНИЕ

Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

, .

Корни уравнения действительные и различные, следовательно, общее решение уравнения можно записать как

.

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .

РЕШЕНИЕ

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни ,

Итак, мы получили два комплексно-сопряженных корня, тогда и общее решение данного дифференциального уравнения

ПРИМЕР. Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

РЕШЕНИЕ

Составим характеристическое уравнение или . Уравнение имеет два равных корня .

Тогда общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид .

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , найдем производную от общего решения

и подставим в выражения для функции и ее производной: или

Отсюда , .

Подставим найденные значения и в общее решение и получим частное решение: .

Рассмотрим теперь неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами

.

Поскольку для соответствующего однородного уравнения всегда можно найти общее решение, то в силу теоремы 2, остается найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Для правой части общего вида это делается методом вариации произвольных постоянных, но для широкого класса правых частей специального вида значительно быстрее методом неопределенных коэффициентов.

а) Пусть правая часть , где - многочлен степени .

Тогда частное решение будем искать тоже в виде многочлена, т.е. ,

где - многочлен с неопределенными коэффициентами той же степени, что и ; r - число корней характеристического уравнения, равных 0.

ПРИМЕР. Найти решение уравнения .

РЕШЕНИЕ.

1. Запишем однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению

.

Найдем корни характеристического уравнения .

Тогда общим решением однородного уравнения будет функция .

2. Правая часть является линейной функцией (), поэтому частное решение будем искать в виде функции

.

Здесь , т.к. среди корней характеристического уравнения есть один, равный 0.

Найдем производные частного решения , и подставим в исходное уравнение , .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества, получим систему из двух уравнений с неизвестными и :

или

Следовательно, частное решение уравнения запишется в виде

.

3. Общее решение неоднородного уравнения на основании Т.2 есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: .

б) Пусть правая часть уравнения .

Тогда частное решение будем искать в виде , где - многочлен с неопределенными коэффициентами -ой степени, - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

ПРИМЕР. Найтиобщее решение дифференциального уравнения

.

РЕШЕНИЕ

1. Запишем соответствующее однородное уравнение и решим его: , , и .

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: .

2. Правая часть уравнения , (, ) поэтому частное решение будем искать в виде: . Здесь , т.к. один из корней совпадает с .

Найдем производные этой функции ,

,

Подставим в исходное уравнение

Разделим обе части уравнения на , получим после преобразований будем иметь:

.

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему уравнений:

3. Общее решение неоднородного уравнения:

.

в) Если правая часть уравнения ,

тогда частное решение неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид:

где - неопределенные коэффициенты, если числа не являются корнями характеристического уравнения; , если числа являются корнями характеристического уравнения.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

РЕШЕНИЕ

Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения . Отсюда

Тогда корни уравнения . Составим общее решение однородного уравнения, т.к. то

.

Правая часть неоднородного уравнения имеет вид . Отсюда , а значит, числа не совпадают с корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение будем искать в виде ,

; .

Подставим в исходное уравнение:

,

Приравняем коэффициенты перед функциями и в левой и правой частях уравнения:

Отсюда

Тогда , а общее решение исходного уравнения