Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Числовые ряды. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если числа образуют бесконечную числовую последовательность, то выражение вида
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если числа 
образуют бесконечную числовую последовательность, то выражение вида
называют числовым рядом. Числа 
называют членами ряда, а 
- общим членом ряда.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность 
, 
, 
, 
, 
, называют последовательностью частичных сумм ряда.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конечный или бесконечный предел 
частичной суммы 
ряда при условии, что 
: 
называют его суммойи пишут 
.
Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимс я, в противном случае (т.е. если сумма равна 
, либо суммы вовсе нет) – расходящимся.
Например.
1) Рассмотрим числовой ряд 
.
Последовательность частичных сумм для этого ряда имеет вид: 
, 
, 
, , 
, . Так как сумма первых 
- членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле 
, (здесь 
- первый член прогрессии, 
- знаменатель прогрессии), то сумма ряда будет равна
.
Таким образом, ряд сходится и его сумма равна 
.
2) Для ряда 
частичные суммы равны 
, 
, 
, , 
, и поэтому сумма ряда 
. Значит, ряд расходится.
3) Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии 
Его частичная сумма будет равна (если 
) . Если знаменатель прогрессии 
то 
, т.е. ряд сходится. При условии, что 
ряд расходится: если 
, то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы вовсе нет.
Рассмотрим сходящийся числовой ряд. Разность между суммой ряда и его частичной суммой 
называют -м остатком ряда
.
Остаток ряда 
представляет собой ту погрешность, которая получается, если в качестве приближенного значения суммы ряда взять сумму первых членов этого ряда.
Так как предел последовательности , то, 
.
Поэтому, взяв достаточно большое число членов сходящегося ряда, можно вычислить сумму ряда с любой степенью точности.
Сходящиеся числовые ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами.
1. Если члены сходящегося ряда умножить на один и тот же множитель 
, то его сходимость не нарушится, а сумма ряда умножится на число .
2. Два сходящихся ряда 
и 
можно почленно складывать (или
вычитать), вновь полученный ряд 
также сходится.
3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного добавлением или отбрасыванием конечного числа членов.
4. Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд сходится, то его общий член 
при неограниченном
увеличение номера n стремится к нулю, т.е. 
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Если числовой ряд сходится, то как , так и 
при 
имеют конечный предел . Следовательно, поскольку 
, имеем
.
Таким образом, ряд может сходиться только при условии, что . Если же 
или не существует, то ряд расходится. Это условие является достаточным признаком расходимости ряда.
ПРИМЕР. Рассмотрим числовой ряд 
.
Найдем предел общего члена 
, т. е. ряд расходится.