Второй признак сравнения

Если существует конечный отличный от нуля предел (если ), то оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть ряд (2) сходится и . Взяв произвольное число , для достаточно больших номеров будем иметь или . Из неравенства следует, что . В силу свойств сходящихся рядов одновременно с рядом (2) будет сходиться и ряд , полученный умножением его членов на число .Отсюда, по первому признаку сравнения, вытекает сходимость ряда (1).

Если же ряд (2) расходится, то из неравенства или следует, что ряд (1) также расходится.

Трудность применения на практике признаков сравнения состоит в необходимости иметь “запас” рядов, сходимость (или расходимость) которых известна. В качестве «эталонных» рядов, обычно используются ряды, образованные членами геометрической прогрессии, или обобщенный гармонический ряд .

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость числовой ряд .

РЕШЕНИЕ

Сравним данный ряд с рядом

.

Ряд сходится, т.к. его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем . Каждый член исследуемого ряда меньше соответствующего члена ряда :

поэтому, согласно первому признаку сравнения, ряд сходится.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд