Интегральный признак Коши

Пусть - числовой ряд с положительными членами, и пусть - непрерывная, монотонно убывающая функция, для которой . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если этот интеграл расходится.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Составим частичную сумму ряда . Поскольку (), то .

Каждое слагаемое частичной суммы можно рассматривать как площадь прямоугольника с основанием единица и высотой равной (рис.25). Добавление к частичной сумме нового члена ряда означает добавление новой площади, а потому , то есть последовательность частичных сумм неубывающая.

Рассмотрим частичную сумму и примем за площадь прямоугольника, лежащего справа от , т. е. с большей высотой. Тогда получим сумму площадей прямоугольников, часть площади которых расположена над кривой . Эта сумма равна .

Обозначим . С геометрической точки зрения этот интеграл есть площадь, ограниченная кривой при и осью .

Тогда из рис. 25 имеем, что

.

Это двойное неравенство можно записать в виде двух неравенств:

и .

1). Пусть сходится. Это значит, что существует конечный предел . Тогда согласно первому неравенству , где - число. Следовательно, возрастающая последовательность ограниченна сверху, а потому имеет конечный предел, т. е. ряд сходится.

2). Пусть расходится. Тогда

Согласно неравенству , частичные суммы неограниченно возрастают. Но тогда, по определению, ряд расходится.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд .

РЕШЕНИЕ

Если , то члены ряда составляют монотонно убывающую последовательность .

Рассмотрим функцию непрерывную на промежутке , монотонно убывающую и при целых значениях аргумента, совпадающую с членами ряда.

Вычислим , если :

Если , то .

Таким образом, ряд сходится, если и расходится если .

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд .

РЕШЕНИЕ

Общий член ряда . Вычислим интеграл

.

Т.к. предел равен бесконечности, интеграл расходится. Следовательно, по интегральному признаку Коши, исследуемый ряд тоже расходится.

Рассмотрим два ряда с положительными членами:

и