Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интегральный признак Коши
Пусть - числовой ряд с положительными членами, и пусть - непрерывная, монотонно убывающая функция, для которой . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если этот интеграл расходится. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Составим частичную сумму ряда . Поскольку (), то . Каждое слагаемое частичной суммы можно рассматривать как площадь прямоугольника с основанием единица и высотой равной (рис.25). Добавление к частичной сумме нового члена ряда означает добавление новой площади, а потому , то есть последовательность частичных сумм неубывающая. Рассмотрим частичную сумму и примем за площадь прямоугольника, лежащего справа от , т. е. с большей высотой. Тогда получим сумму площадей прямоугольников, часть площади которых расположена над кривой . Эта сумма равна . Рассмотрим также сумму . Каждое слагаемое этой суммы есть площадь треугольника с основанием, равным единице и высотой прямоугольника, лежащего слева. Тогда сумма есть сумма площадей прямоугольников, лежащих под кривой . Обозначим . С геометрической точки зрения этот интеграл есть площадь, ограниченная кривой при и осью . Тогда из рис. 25 имеем, что . Это двойное неравенство можно записать в виде двух неравенств: и . 1). Пусть сходится. Это значит, что существует конечный предел . Тогда согласно первому неравенству , где - число. Следовательно, возрастающая последовательность ограниченна сверху, а потому имеет конечный предел, т. е. ряд сходится. 2). Пусть расходится. Тогда Согласно неравенству , частичные суммы неограниченно возрастают. Но тогда, по определению, ряд расходится. ПРИМЕР. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд . РЕШЕНИЕ Если , то члены ряда составляют монотонно убывающую последовательность . Рассмотрим функцию непрерывную на промежутке , монотонно убывающую и при целых значениях аргумента, совпадающую с членами ряда. Вычислим , если : Если , то . Таким образом, ряд сходится, если и расходится если . ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд . РЕШЕНИЕ Общий член ряда . Вычислим интеграл . Т.к. предел равен бесконечности, интеграл расходится. Следовательно, по интегральному признаку Коши, исследуемый ряд тоже расходится.
Рассмотрим два ряда с положительными членами: и
|