Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
, (*)
где 
- функции непрерывные на некотором промежутке 
.
Это уравнение называется уравнением с правой частью или неоднородным.
Если 
то уравнение имеет вид
(**)
и называется уравнением без правой части или однородным.
ТЕОРЕМА 1. Если функции 
- линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения, то их линейная комбинация 
является общим решением того же уравнения. Здесь 
- произвольные постоянные.
Замечание: функции называются линейно независимыми, если их отношение не равно постоянной величине, т.е. 
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Продифференцировав дважды функцию 
: 
, 
и подставив 
и 
в левую часть уравнения 
, получим:
.
Так как функции 
и 
по условию теоремы есть решения уравнения, то выражения в скобках тождественно равны нулю. Таким образом, функция 
удовлетворяет исходному уравнению, а поскольку она зависит от двух произвольных постоянных, то является общим решением уравнения.
ТЕОРЕМА 2. Общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е. 
.
Здесь 
- общее решение неоднородно уравнения; 
- общее решение однородного уравнения; 
- частное решение неоднородного уравнения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Обозначим через 
общее решение однородного уравнения , а через 
- какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения .
Рассмотрим функцию 
. Имеем 
, 
.
Подставляя выражения для 
в левую часть уравнения (*), получим:
.
Выражение в первой квадратной скобке равно нулю, т. к. - решение однородного уравнения , а выражение во второй квадратной скобке равно 
, т. к. - решение неоднородного уравнения 
. Следовательно, функция есть решение уравнения . Так как это решение зависит от двух произвольных постоянных, то оно и есть общее решение уравнения.