Примеры «обычных» и нечетких множеств

Методы нечеткого моделирования и управления

Примеры «обычных» и нечетких множеств

Множество – это неопределенное понятие математики.

Множество, включающее в себя все объекты, рассматриваемые в задаче, называют универсальным множеством (для данной задачи). Универсальное множество принято обозначать буквой U. Универсальное множество является максимальным множеством в том смысле, что все объекты являются его элементами, т.е. утверждение в рамках задачи всегда истинно. Минимальным множеством является пустое множество Ø, которое не содержит ни одного элемента.

Все множества, рассматриваемые в данной задаче, являются подмножествами множества U. Множество A называют подмножеством множества B, если все элементы множества A являются также элементами множества B. Задание множества A – это правило, позволяющее относительно любого элемента x универсального множества U однозначно установить, принадлежит x множеству A или не принадлежит. Другими словами, это правило, позволяющее определить, какое из двух высказываний, или , является истинным, а какое ложным.

Одним из способов задания множеств является задание с помощью характеристической функции.

Определение. Характеристической функцией множества A называют функцию , заданную на универсальном множестве U и принимающую значение единицы на тех элементах множества U, которые принадлежат множеству A, и значение нуля на тех элементах, которые не принадлежат множеству A:

(1.1)

В качестве примера рассмотрим универсальное множество и два его подмножества: A – множество чисел, меньших 6, и B – множество чисел, немного меньших 6. Характеристическая функция множества A примет вид:

Записать характеристическую функцию множества B, используя лишь 0 и 1, невозможно.

Множество A в данном примере является «обычным» множеством, множество B – нечетким множеством. При составлении характеристической функции решающий задачу (эксперт) может высказать свое мнение относительно того, в какой степени каждое из чисел множества U принадлежит множеству B. В качестве степени принадлежности можно выбрать любое число с отрезка [0, 1]. При этом означает полную уверенность эксперта в том, что ; – столь же полную уверенность, что ; говорит о том, что эксперт затрудняется в ответе на вопрос, принадлежит ли множеству B или не принадлежит. Если , то эксперт склонен отнести к множеству B, если же , то не склонен.

Установленные экспертом значения степени принадлежности нечеткому множеству B каждого из элементов универсального множества U представляют собой функцию, определенную на множестве U и принимающую значения на отрезке . Такую функцию называют функцией принадлежности нечеткому множеству B. Функция принадлежности отображает субъективный взгляд специалиста на задачу, вносит индивидуальность в ее решение.

Характеристическую функцию «обычного» множества A можно рассматривать как функцию принадлежности этому множеству, но, в отличие от нечеткого множества, принимает лишь одно из значений: 0 или 1.

Так, если , A – множество чисел, меньших 6, B – множество чисел, немного меньших 6, то и можно представить в виде таблицы 1.1.

Таблица 1.1 – Пример характеристических функций

		0, 5	0, 6	0, 8	0, 9

В литературе используется также более компактная запись конечных или счетных нечетких множеств. Так, вместо приведенного выше табличного представления множеств A и B, эти подмножества можно записать следующим образом:

;

.

В приведенных равенствах указаны значения функции принадлежности для соответствующих элементов множества U, знак «+» означает объединение одноэлементных подмножеств U, для которых значения функции принадлежности больше нуля. Такое объединение называют несущим множеством, или носителем соответствующего нечеткого множества. Так, несущее множество для B состоит из чисел: .

Общая форма записи нечеткого подмножества для случаев, когда U конечно или счетно, имеет вид:

, . (1.2)

Элемент множества U, на котором значение функции принадлежности равно 0, 5, называют точкой перехода. Точкой перехода для множества B в рассматриваемом выше примере является . Точка перехода – это точка, о которой мнение эксперта можно выразить словами «неизвестно», «не определено» и т.п.

Если функция принадлежности нечеткого множества достигает 1, то множество называют нормальным, если не достигает – субнормальным. Поскольку в рассмотренном примере ни одно из значений не достигло своего возможного значения – 1, то B – нечеткое субнормальное множество.

Субнормальное множество можно нормировать, разделив все значения функции принадлежности на ее наибольшее значение. Множество В после нормирования примет следующий вид:

.

В некоторых случаях удобно графическое представление нечетких множеств в виде диаграмм Заде (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 – Графическое изображение функций принадлежности обычного множества A и нечеткого множества В (диаграмма Заде)

Пример. Пусть — рост взрослого человека в метрах; А — высокий рост, В — средний рост, С — маленький рост. Множества А, В и С являются нечеткими. В данном примере несущими множествами для них являются промежутки числовой оси. На рисунке 1.2 представлены графики возможных функций принадлежности каждого из этих множеств.

Рисунок 1.2 – Возможные графики функций принадлежности нечетким множествам

Несущие множества для А, В и С: U_A = (1, 7; 2, 8), U_B = (1, 6; 2, 1), U_c = (1, 0; 2, 05). Функция имеет единственный максимум. Такую функцию называют унимодальной. Все три множества, А, В и С, являются нормальными, так как достигают наибольшего возможного значения — 1. По аналогии с конечными нечеткими множествами, можно записать А, В и С в следующей форме:

, , .

В общем случае нечеткое множество А с непрерывным носителем U обозначается символом

. (1.3)

Использование символа не означает интегрирования, но предполагает, как и в случае использования символа (см. формулу (1.2)), объединение по всем элементам несущего множества U. Знак интеграла показывает, что несущее множество, в отличие от формулы (1.2), является частью числовой оси. Поскольку объединение множеств называют также логической суммой, оба эти символа, и , называют «сумма по множеству U».