Нечеткие отношения

Опр. 5. Нечетким отношением на универсальном множестве называется нечеткое подмножество декартова произведения , которое характеризуется такой функцией принадлежности , что . Причем принимается как субъективная мера выполнения отношения .

Или другой способ записи:

.

В общем случае -арное отношение есть нечеткое подмножество декартового произведения универсальных множеств , причем:

.

Пример 1. Пусть заданы:

а) четкое отношение , где ;

б) нечеткое отношение .

Рисунок 1.3 – Примеры задания отношений и

На рисунке 1.3 приведены пары из интервала , связанные отношением , то есть такие, что . Они образуют множество точек заштрихованной области, которые отделены четкой границей – диагональю от других точек.

Строя нечеткое отношение на единичном квадрате, убеждаемся, что существуют пары , которые можно определенно отнести ко множеству (например, точка ), а также те, которые определенно не принадлежат (например, ).

Кроме того, имеется нечеткое множество пар , о принадлежности которых к множеству можно судить лишь приблизительно с определенной субъективностью (например, точка ). Поэтому нечеткое множество характеризуется отсутствием четкой границы от дополнительного множества , и степень принадлежности пары следует характеризовать плотностью штриховки (рисунок 1.3, б). Можно рассмотреть некоторые сечения отношения при фиксированном .

Соответствие семейство функций приведено на рисунке 1.4. Если нечеткое отношение на конечно, то его функция принадлежности задается в виде квадратной матрицы , , с элементами . Если , то это означает, что степень выполнения отношения равна .

Рисунок 1.4 – Некоторые сечения отношения

Пример 2. Пусть . Отношение можно задать функцией принадлежности

Пример 3. Пусть , , . Нечеткое отношение может быть задано, к примеру, в виде таблицы:

			0.1	0.3
		0.8		0.7
		0.5	0.6

Пример 4. Нечеткое отношение , для которого , при достаточно больших можно интерпретировать так: « и близкие друг к другу числа»

Опр. 5. Носителем нечеткого отношения на множестве называется подмножество декартова произведения , определяемое как:

Пример 5. Пусть нечеткое отношение задано в виде:

	0.1		0.2
	0.3			0.9
	0.4	0.7

Тогда носитель данного отношения будет иметь вид:

.

Опр. 6. Пусть на множестве заданы два нечетких отношения и с функциями принадлежности , . Тогда множество представляет собой объединение нечетких отношений и на множестве , если его функция принадлежности определяется выражением

.

Аналогично множество является пересечением нечетких множеств и , если

.

Пример 6. Даны отношения и . Найти объединение и пересечение этих отношений.

	0.3	0.4	0.2				0.3		0.7
	0.8			0.2			0.1	0.8
	0.5		0.4				0.6	0.9	0.3	0.2

Результат:

	0.3	0.4	0.7				0.3		0.2
	0.8						0.1	0.8		0.2
	0.6	0.9	0.4	0.2			0.5		0.3

Опр. 7. Нечеткое отношение включает в себя (или содержит) нечеткое отношение (), если для них выполняется соотношение

.

Пример 7 Даны отношения и . Проверить: содержит ?

	0.3	0.4	0.2				0.4	0.4	0.2	0.1
	0.5			0.9			0.5
	0.4		0.1	0.8			0.5	0.1	0.2	0.9

Ответ: содержит .

Задания:

Задача 1. Дано нечеткое отношение в виде таблицы. Найти носитель данного отношения (см. пример 5).

Вариант 1.

	0.7	0.5
		0.8		0.75
	0.43		0.94

Вариант 2.

		0.1	0.2
	0.3		0.4	0.5
		0.6		0.7

Вариант 3.

	0.1		0.6	0.7
		0.4	0.5
	0.2			0.3

Вариант 4.

	0.2	0.5		0.7
			0.4	0.9
	0.3	0.1

Вариант 5.

	0.4	0.7	0.6
	0.9			0.3
		0.2	0.1

Вариант 6.

		0.4	0.5	0.1
			0.2	0.7
		0.3	0.8

Вариант 7.

			0.4	0.6
	0.1			0.2
	0.9	0.7	0.3

Вариант 8.

		0.5		0.8
		0.4	0.7
	0.2		0.1	0.3

Вариант 9.

		0.9	0.4
	0.3			0.97
	0.1		0.6	0.2

Вариант 10.

		0.8		0.9
	0.2		0.5	0.1
		0.3		0.4

Задача 2. Даны отношения и . Найти объединение и пересечение этих отношений (см. пример 6).

Вариант 1.

		0.1	0.2	0.3			0.1	0.2	0.3
	0.5	0.4		0.7			0.4		0.5	0.6
	0.6			0.8				0.7	0.8	0.9

Вариант 2.

	0.4		0.5	0.1			0.9		0.8	0.7
		0.7	0.3				0.4	0.5	0.6
	0.8	0.2		0.6			0.3	0.2		0.1

Вариант 3.

	0.3	0.8					0.9	0.8		0.7
	0.7		0.6	0.4				0.4	0.5	0.6
		0.5	0.1	0.2			0.3	0.2		0.1

Вариант 4.

	0.6		0.7				0.7	0.9	0.8
	0.8	0.1		0.5			0.5		0.1	0.3
	0.2		0.4	0.3				0.6	0.9	0.4

Вариант 5.

		0.6		0.8			0.3		0.4
	0.4		0.7	0.2			0.2	0.7	0.5	0.9
	0.5	0.3	0.1				0.8	0.1		0.6

Вариант 6.

	0.8	0.7	0.5				0.2		0.8	0.3
		0.2	0.6	0.3			0.9	0.4		0.1
	0.1		0.4					0.7	0.6	0.5

Вариант 7.

		0.3	0.8	0.7				0.3	0.4
	0.6	0.1	0.5				0.8	0.1		0.2
	0.9	0.2		0.4			0.6	0.9	0.5	0.7

Вариант 8.

	0.8		0.3	0.1			0.5	0.1	0.9
		0.7	0.5	0.8				0.6		0.4
	0.6	0.4	0.2				0.2	0.8	0.7	0.3

Вариант 9.

		0.8	0.1	0.6				0.7	0.1	0.6
	0.7	0.5		0.3			0.2	0.5		0.9
	0.2	0.8	0.4				0.4	0.3	0.8

Вариант 10.

	0.4	0.9	0.6	0.3			0.8		0.6	0.2
	0.2	0.7	0.8				0.3	0.1	0.9
			0.1	0.5				0.7	0.5	0.4

Задача 3. Даны отношения и . Проверить: содержит ?

Варианты взять из задачи № 2.