Пример решения задач. Задача 1.Изделие состоит из двух деталей – А, Б

Задача 1.Изделие состоит из двух деталей – А, Б. Деталь А изготавливается цехом № 1, деталь Б производится в цехе № 2. На предприятии существует также цех № 3, который занимается сборкой деталей, поступивших из цехов № 1, 2. Для безостановочной работы цеха № 3 требуется, чтобы цехи № 1, 2 тратили на производство своих деталей в среднем одинаковое время. В цехах № 1, 2 были изготовлены партии из 14 и 10 деталей соответственно, и для каждой детали было измерено затраченное на ее изготовление время. На основании полученных данных, были вычислены выборочные средние времени изготовления деталей А, Б оказавшиеся равными 25, 6 мин (для детали А) и 26 мин (для детали Б). Также были подсчитаны величины выборочных СКО, оказавшиеся равными 1 мин (для детали А) и 1, 5 мин (для детали Б). При уровне значимости проверить гипотезу о равенстве средних значений времени сборки, затрачиваемого на изготовление деталей А, Б.

Решение. Рассмотрим случайные величины Х = {время изготовления детали А} и Y = {время изготовления детали Б}, их СКО обозначим через . Из условия задачи выборочные средние и выборочные СКО таковы: ; ; ; . В задаче речь идет о проверке гипотезы , где – средние значения СВ X, Y. В качестве конкурирующей гипотезы необходимо брать , поскольку лишь она в данном случае имеет практический смысл и несет негативные последствия для производства. Поскольку описанный в данном разделе метод позволяет сравнивать средние значения только случайных величин с одинаковыми СКО, то вначале нужно убедиться в том, что СКО случайных величин X, Y различаются незначительно (незначимо). Иными словами, вначале, пользуясь результатами раздела 10, проверим гипотезу . Наблюдаемое значение критерия . Числа равны 9, 13 соответственно. По прил. 5 находим критическую точку . Поскольку , то гипотеза Н принимается, и можно считать, что СКО случайных величин Х, Y одинаковы. Это позволяет применить метод, описанный в данном разделе.

Приступим к проверке гипотезы . Вычисляем наблюдаемое значение критерия:

Критическая точка определяется из прил. 4, где в качестве значения надо взять , а уровень значимости 0, 05 берут из верхней строки таблицы. Получаем . Поскольку , то основная гипотеза принимается.

Ответ: значения времени сборки деталей обоих типов различаются незначительно.

Задача 2.Руководство предприятия рассматривает вопрос о замене старого оборудования на новое. Замена будет произведена, если среднее время изготовления детали на станке новой модели будет меньше, чем на станке старой модели. На старом станке была изготовлена партия из 12 деталей, и было найдено выборочное среднее времени, затрачиваемого на изготовление детали, равное 11, 02 с. На новом станке было изготовлено 10 деталей и выборочное среднее времени изготовления детали для данного станка оказалось равным 10, 86 с. Выборочные СКО времени изготовления детали на старом и новом станке оказались равными 0, 3 с и 0, 25 с соответственно. Сделать вывод об обоснованности замены оборудования при уровне значимости .

Решение. Рассмотрим СВ Х ={время изготовления детали на старом станке} и Y = {время изготовления детали на новом станке}. Их СКО обозначим через . Из условия задачи выборочные средние таковы: ; . В задаче речь идет о проверке гипотезы , где – средние значения СВ X, Y. В качестве конкурирующей гипотезы необходимо брать , поскольку лишь она в данном случае имеет практический смысл .

Поскольку описанный в данном параграфе метод позволяет сравнивать средние значения только случайных величин с одинаковыми СКО, то вначале нужно убедиться в том, что СКО случайных величин X, Y различаются незначительно (незначимо). Иными словами, вначале, пользуясь результатами разд. 10, проверим гипотезу . Наблюдаемое значение критерия . Числа равны 11, 9 соответственно. По прил. 5 находим критическую точку . Поскольку , то гипотеза Н принимается, и можно считать, что СКО Х, Y одинаковы. Это позволяет применить метод, описанный в данном параграфе.

Приступим к проверке гипотезы . Вычисляем наблюдаемое значение критерия:

Критическая точка определяется из прил. 4, где в качестве значения надо взять , а уровень значимости 0, 05 берут из нижней строки таблицы. Получаем . Поскольку , то основная гипотеза отвергается.

Ответ: среднее время сборки детали на старом станке существенно превосходит время сборки детали на новом станке, необходимо менять оборудование.

12. СРАВНЕНИЕ СТАНДАРТНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ НЕСКОЛЬКИХ

НОРМАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПО ВЫБОРКАМ

РАЗНЫХ ОБЪЕМОВ (КРИТЕРИЙ БАРТЛЕТТА)

Постановка задачи. Имеется выборка значений нескольких нормальных СВ объемов и не все объемы выборок равны друг другу. СКО случайных величин обозначим через соответственно. Необходимо при заданном уровне значимости проверить основную гипотезу о равенстве между собой всех СКО .

Комментарии к постановке задачи. Задачу можно решить с использованием старых методов. Действительно, проверяем l гипотез: , , …, с помощью метода, описанного в разд. 10. Если все l гипотез принимаются, то, очевидно, верна и исходная гипотеза H ₀. Однако такой подход характеризуется существенным недостатком: при каждом испытании гипотезы будет увеличиваться суммарная величина ошибок первого и второго рода, которая после l испытаний может стать значительной. Поэтому необходимо описать метод, позволяющий проверить гипотезу H ₀ «сразу и целиком».

План решения. По выборкам СВ находим их выборочные СКО . Найдем числа , , а также

(10)

(11)

. (12)

Наблюдаемоезначение критерия вычисляется по формуле

(13)

Критическая точка критерия находится из прил. 3 для значений (в первой строке нужно найти значение , а в первом столбце нужно найти число ). Если , то нулевая гипотеза принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвергается.

Замечание 1. Число C можно и не вычислять, если окажется, что . Это возможно, поскольку , и при неравенство будет следовать автоматически.