Пример решения задачи.

Задача. Две лаборатории одним и тем же методом, в одном и том же порядке определяли вес 13 проб химического вещества. Результаты анализов приведены в табл. 4:

Таблица 4

Результаты анализов проб вещества

Требуется при уровне значимости 0, 05 установить, значимо или незначимо различаются средние результаты взвешивания.

Решение. Найдем значения : d ₁ = 2; d ₂ = 3; d ₃ = 4; d ₄ = 3; d ₅ = – 5; d ₆ = 2; d ₇ = 5; d ₈ = 2; d ₉ = – 4; d ₁₀ = – 2; d ₁₁ = 6; d ₁₂ = 3; d ₁₃ = 4.

Для полученной выборки найдем выборочное среднее и выборочное СКО: ; .

Находим наблюдаемое значение критерия: .

Критическая точка определяется из прил. 4 для (брать из верхней строки) и Имеем . Так как , то основная гипотеза принимается.

Ответ: различие между результатами анализов двух лабораторий несущественно.

9. СРАВНЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО СТАНДАРТНОГО ОТКЛОНЕНИЯ С ГИПОТЕТИЧЕСКИМ СТАНДАРТНЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ

НОРМАЛЬНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Постановка задачи. Имеется выборка значений нормальной СВ Х объема n. Необходимо при заданном уровне значимости проверить основную гипотезу , где – гипотетическое (предполагаемое) СКО.

Комментарии к постановке задачи. Поскольку выборочное СКО является приближением к СКО случайной величины, то естественно возникает вопрос, насколько близко вычисленное по выборке значение к неизвестному «истинному» СКО СВ Х. В данном типе задач мы берем число и проверяем, насколько правдоподобно выглядит в качестве СКО нормальной СВ Х. Очевидно, что число должно быть близко к вычисленному по выборке выборочному среднему. Кроме того, при увеличении числа наблюдений величина должна приближаться к (если основная гипотеза действительно верна). Разобраться в том, насколько «близко» к , может приведенный ниже метод.

План решения. Вычисляемвыборочное среднее . Наблюдаемоезначение критерия вычисляется по формуле:

(7)

Критическая точка критерия зависит от выбранной конкурирующей гипотезы.

1. Если , то определяется из прил. 3, где . Если , то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.

2. Если , то находят две критических точки. Точка определяется из прил. 3, где , а вместо нужно взять число . Точка находится из прил. 3, где , а вместо нужно взять число . Если , то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.

3. Если , то критическая точка находится из прил. 3, где , а вместо нужно взять число . Если , то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается. Обратите внимание, что в данном случае основная гипотеза отвергается, когда наблюдаемое значение меньше критического.