Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Примеры решения задач. Задача 1.Станок производит металлические трубы с СКО длины изделий равным 1 м
|
|
Задача 1. Станок производит металлические трубы с СКО длины изделий равным 1 м. Была изготовлена опытная партия из 25 труб и значения их длины занесены в табл. 3.
Таблица 3
Таблица значений длины труб
| 10, 1 | 10, 3 | 10, 9 | 10, 3 | 10, 5 |
| 10, 4 | 11, 5 | 10, 3 | 9, 9 | 9, 3 |
| 10, 5 | 10, 9 | 9, 5 | 9, 4 | 10, 2 |
| 10, 5 | 10, 2 | 9, 1 | 9, 9 |
Согласно документации средняя длина выпускаемых изделий равна 10 м. Необходимо выяснить, требуется ли станку наладка, т. е. соответствует ли плановая средняя длина изделия фактической при уровне значимости 
.
Решение. Речь идет о проверке гипотезы 
, где 
– среднее значение СВ X = {длина выпускаемой детали}. В качестве конкурирующей гипотезы возьмем 
(конкурирующие гипотезы 
и 
в данной задаче практического смысла не имеют, в то время как 
).
Находим выборочное среднее: 
10, 185 и наблюдаемое значение критерия:
Для величины 
имеем равенство:
Из табл. 2 находим 
. Так как 
, то основная гипотеза принимается.
Ответ: станок наладки не требует.
Заметим, что если для рассмотренной выше задачи взять уровень значимости 
0, 01, то критическая точка 
увеличит свое значение и будет равна 
, и основная гипотеза будет принята «с большей охотой». Последнее подтверждает сформулированный выше принцип: чем меньше уровень значимости, тем с большей «легкостью» принимается основная гипотеза.
Задача 2. Автомат, установленный в магазине, фасует сахар в пакеты по 1кг (по крайней мере так указано в документации). Поскольку автомат не может быть идеальной машиной, то в его работе допускается СКО по весу при фасовке одного пакета, равное 20 гр. С некоторого момента времени руководству магазина начало казаться, что автомат отвешивает товара больше чем надо. Для проверки этого предположения автомат наполнил 50 пакетов с сахаром, средний вес которых оказался равным 1, 03 кг. при уровне значимости 0, 05 проверить гипотезу о правильной работе автомата.
Решение. В задаче речь идет о СВ Х = {вес мешка, изготовленного автоматом}. Объем выборки n СВ Х равен 50, выборочное среднее 
кг. Основная гипотеза будет 
. В качестве конкурирующей гипотезы следует взять 
, поскольку лишь она влечет за собой негативные последствия для магазина (в мешки систематически кладут сахара больше чем надо). Наблюдаемое значение критерия
Критическая точка определяется из табл. 2 для значения функции Ф 
. Имеем 
. Поскольку 
, то основная гипотеза отвергается.
Ответ: доказано, что автомат настроен на фасовку партий сахара весом более 1 кг.
Задача 3.В орган по надзору в сфере торговли часто обращались покупатели с жалобами на фасовку сахара, осуществляемую автоматом в одном из магазинов. Покупателям казалось, что в магазине сахар продают по цене одного килограмма, хотя фактически вес пакета существенно меньше. Была проведена проверка магазина, в ходе которой было установлено, что при фасовке сахара автоматом допустима величина СКО в 20 г. При взвешивании 16 случайно выбранных пакетов их средний вес оказался равным 0, 995 кг. При уровне значимости 0, 04 проверить обоснованность жалоб покупателей.
Решение. Здесь, как и в задаче 2, речь идет о СВ Х = {вес мешка, изготовленного автоматом}. Объем выборки n СВ Х равен 16, выборочное среднее 
кг. Основная гипотеза будет . В качестве конкурирующей гипотезы следует взять 
, поскольку с точки зрения покупателя в Н 1 заключены все негативные последствия (магазин обвешивает клиентов). Наблюдаемое значение критерия
Критическую точку 
находим, как и в задаче 2, для значения функции Ф 
. Имеем 
. Поскольку 
, то основная гипотеза принимается.
Ответ: не доказано, что магазин систематически обвешивает покупателей.
6. СРАВНЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ СРЕДНЕЙ С ГИПОТЕТИЧЕСКИМ
СРЕДНИМ ЗНАЧЕНИЕМ НОРМАЛЬНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ВЕЛИЧИНЕ СТАНДАРТНОГО ОТКЛОНЕНИЯ
Постановка задачи. Имеется выборка значений нормальной СВ Х объема n. Необходимо при заданном уровне значимости 
проверить основную гипотезу 
, где 
– гипотетическое (предполагаемое) среднее значение.
Комментарии к постановке задачи. Данная задача похожа на задачу из разд. 5. Однако в данном случае при принятии решения мы располагаем меньшей информацией, поскольку величина стандартного отклонения нам неизвестна и при расчетах придется воспользоваться ее приближением – выборочным СКО.
План решения. Вычисляемвыборочное среднее 
и выборочное СКО 
. Наблюдаемоезначение критерия вычисляется по формуле:
(4)
Критическая точка критерия 
зависит от выбранной конкурирующей гипотезы.
1. Если 
, то определяется из прил. 4, где в качестве значения 
берут 
, а уровень значимости берут из верхней строки таблицы. Если 
, то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.
2. Если 
, то находится из прил. 4, где в качестве значения берут , а уровень значимости берут из нижней строки таблицы. Если 
, то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.
3. Если 
, то находится в соответствии с правилами п. 2. Если 
, то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.