Пример решения задачи. Задача 1.Изделие состоит из двух деталей А, Б

Задача 1.Изделие состоит из двух деталей А, Б. Деталь А изготавливается цехом № 1, деталь Б производится в цехе № 2. СКО от стандартного времени в сборке равны 1 мин (для детали А) и 1, 5 мин (для детали Б). На предприятии существует также цех № 3, который занимается сборкой деталей, поступивших из цехов № 1, 2. Для безостановочной работы цеха № 3 требуется, чтобы цехи № 1, 2 тратили на производство своих деталей в среднем одинаковое время. В цехах № 1, 2 были изготовлены партии из 40 и 50 деталей соответственно, и для каждой детали было измерено затраченное на ее изготовление время. На основании полученных данных были вычислены выборочные средние времени изготовления деталей А, Б оказавшиеся равными 25, 6 мин (для цеха № 1) и 26 мин (для цеха № 2). Проверить гипотезу о равенстве средних значений времени сборки, затрачиваемой на изготовление деталей при уровне значимости 0, 05.

Решение. Рассмотрим случайные величины Х = {время изготовления детали А} и Y = {время изготовления детали Б}. Их СКО обозначим через . Из условия задачи выборочные средние таковы: . В задаче речь идет о проверке гипотезы , где – средние значения СВ X, Y. В качестве конкурирующей гипотезы необходимо брать , поскольку лишь она в данном случае имеет практический смысл и несет негативные последствия для производства. Вычисляем наблюдаемое значение критерия:

Критическая точка определяется из условия Отсюда из прил. 2 находим 1, 96. Так как , то основная гипотеза принимается.

Ответ: время сборки деталей обоих типов отличаются незначительно.

Задача 2.Руководство предприятия рассматривает вопрос о замене старого оборудования на новое. Замена будет произведена, если среднее время изготовления детали на станке новой модели будет меньше, чем на станке старой модели. СКО времени изготовления детали на новом и старом станке известны и равны 0, 95 и 0, 79 с соответственно. На старом станке была изготовлена партия из 250 деталей, и было найдено выборочное среднее времени, затрачиваемого на изготовление детали, оно оказавшиеся равным 11, 02 с. На новом станке было изготовлено 100 деталей, и выборочное среднее времени изготовления детали для данного станка оказалось равным 10, 86 с. Сделать вывод об обоснованности замены оборудования при уровне значимости 0, 05.

Решение. Рассмотрим СВ Х = {время изготовления детали на старом станке} и Y = {время изготовления детали на новом станке}; их СКО обозначим через . Из условия задачи выборочные средние таковы: . В задаче речь идет о проверке гипотезы , где – средние значения СВ X, Y. В качестве конкурирующей гипотезы необходимо брать , поскольку лишь она в данном случае имеет практический смысл . Вычисляем наблюдаемое значение критерия:

Критическая точка определяется из условия Отсюда из прил. 2 находим 1, 65. Так как , то основная гипотеза принимается.

Ответ: характеристики станков различаются незначительно, и необходимости в замене оборудования нет.

8. СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ДВУХ НОРМАЛЬНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (ЗАВИСИМЫЕ ВЫБОРКИ)

С НЕИЗВЕСТНЫМИ СТАНДАРТНЫМИ ОТКЛОНЕНИЯМИ

Понятие о зависимости выборок. РассмотримСВ X = {вес детали на первых весах}, Y = {вес той же самой детали на вторых весах}. Очевидно, что если весы устроены одинаково, значение СВ Х не будет разительно отличаться от значения Y. То есть, зная значение Х, можно (с той или иной точностью) предсказать значение Y. В таком случае говорят, что СВ Y зависит от Х (более подробная информация о зависимостях между СВ представлена разд. 16).

Постановка задачи. Имеются зависимые выборки значений нормальных СВ Х и Y объема n. Средние значения СВ X, Y обозначим через соответственно. Необходимо при заданном уровне значимости проверить основную гипотезу при конкурирующей гипотезе . Значения СКО случайных величин X, Y считаются неизвестными.

Комментарий к постановке задачи. В разд. 7 было показано, как проверять такую же гипотезу для независимых СВ X, Y, т. е. когда значение Х никак не влияет на следующее значение Y. В данной задаче СВ зависят друг от друга, и это обстоятельство существенно меняет решение задачи.

План решения. Имеем выборки СВ X, Y:

Полагаем ,, .

Наблюдаемоезначение критерия вычисляется по формуле:

(6)

Критическая точка критерия определяется из прил. 4, где в качестве значения берут , а уровень значимости берут из верхней строки таблицы. Если , то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.