Вывод уравнений гармонических колебаний

Таблица 2.2 - Вывод уравнений гармонических колебаний

Механическая система	Электрическая система (R = 0 – идеальная) контур Томсона (L, C)
пружинный маятник (k, m)	физический маятник (J, m, ℓ)	математический маятник (ℓ, g)	колебательный контур
Действующие на шарик сила тяжести и сила реакции компенсируются при любом положении шарика на стержне, их равнодействующая равна нулю. Возникающая при любом смещении шарика от положения равновесия сила упругости всегда направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению х по закону Гука   .   Сила упругости взывает ускорение движения груза и определяется вторым	Возникающий относительно оси вращения О момент силы равен ,   где - составляющая силы тяжести, направленная к положению равновесия (в), ℓ - расстояние ОС между точкой подвеса и центром масс, при малых углах отклонения маятника; знак минус обусловлен тем, что составляющая направлена противоположно углу φ. По закону динамика вращательного движения твердого тела	На маятник действует сила тяжести и сила натяжения нити. При отклонении маятника на угол φ проекция силы тяжести на касательную к окружности равна   ,   где m – масса маятника (материальной точки) , так как угол α очень мал. Знак «-» означает, что проекция противоположна смещению х. Проекция создает касательное ускорение и определя-	Единственная э.д.с. в контуре – это э.д.с. самоиндукции в катушке     По второму закону Кирхгофа   в применении к контуру   т.к. , то скорость изменения силы тока - вторая прои-
законом Ньютона   ,   где а - ускорение - вторая производная смещения по времени ().	,   где J – момент инерции маятника, относительно точки подвеса О, - угловое ускорение, равное второй производной угла отклонения по времени,	ется вторым законом Ньютона   ,   где , т.е. угловое ускорение - вторая производная угла по времени	водная от заряда по времени
Следовательно, уравнение гармонического незатухающего колебания пружинного маятника имеет вид   , или , где ω 0 – собственная циклическая частота гармонического колебания пружинного маятника	Следовательно, уравнение гармонического колебания незатухающего колебания физического маятника имеет вид   , или , где ω 0 – собственная циклическая частота гармонического колебания физического маятника	Следовательно, уравнение гармонического незатухающего колебания математического маятника имеет вид , или , где ω 0 – собственная циклическая частота гармонического колебания маятника	Следовательно, уравнение гармонического незатухающего колебания в контуре имеет вид   , или , где ω 0 – собственная циклическая частота гармонического колебания контура .
Период незатухающих гармонических колебаний	Период незатухающих гармонических колебаний   - приведенная длина физического маятника.	Период незатухающих колебаний       Математический маятник – частный случай физического. Так как момент инерции материальной точки , то	Период незатухающих гармонических колебаний - формула Томсона.

Собственная частота ω ₀ и период Т₀ гармонических колебаний определяются параметрами самой системы. Из сравнения различных по природе колебательных систем убеждаемся в том, что между физическими величинами механических и электрических систем существует аналогия:

механическая система	электрическая система
смещение х (или угол φ)	заряд q
скорость (или )	сила тока
ускорение (или )	скорость изменения силы тока
масса m (или момент инерции J)	индуктивность L
коэффициент жесткости k	величина