![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Примеры решения задач. Пример 1. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см и периодом Т = 2 с
Пример 1. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см и периодом Т = 2 с. Написать закон этих колебаний, считая, что при t = 0 смещение х = 0. Определить фазу φ для двух моментов времени: 1) когда смещение точки х1 = 6 см; 2) когда скорость точки v = 10 см/с. Решение: Так как в начальный момент времени t = 0 смещение точки х = 0, то начальная фаза колебаний φ 0 = 0. В общем виде зависимость координаты точки от времени можно представить в виде
где ω t = φ – фаза колебаний.
Т.к.
Подставив в формулу значения амплитуды и периода, получаем:
Значение фазы при смещении точки х, определим из выражения
Для определения фазы φ 2 получим закон зависимости скорости от времени, взяв первую производную от смещения х:
откуда
Ответ: Пример 2. Точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость точки v max = 10 см/с, максимальное ускорение аmax = 100 см/с2. Найти циклическую частоту колебаний, их период и амплитуду. Написать законы колебаний. Решение:
Скорость
следовательно,
Ускорение
a = a max при sin ω t = 1; следовательно,
a max = vmax ω (2)
Из (1) и (2) получаем:
следовательно,
Из (1):
Т.к.
Значения А, ω подставляем в уравнение (t):
Ответ: Пример 3. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания, закон которых имеет вид:
По второму закону Ньютона Так как ускорение
Полная энергия Eполн равна максимальному значению кинетической энергии
Из (1)
Ответ: возвращающая сила через t = 0, 1 с равна
Пример 4. Однородный диск радиусом R = 30 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Каков период его колебаний?
где J – момент инерции диска относительно оси «О» определяем по теореме Штейнера
где Следовательно,
Тогда
Произведем вычисления
Ответ: период колебания диска относительно точки «О» Т = 1, 35 с.
Пример 5. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 8 пФ и катушку индуктивностью L = 0, 5 мГн. Каково максимальное напряжение Umax на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока I max = 40 мА? Решение: Закон изменения заряда на обкладках конденсатора q от времени имеет вид:
В цепи колебательного контура сила тока изменяется по закону
где Максимальный заряд на обкладках
а циклическая частота собственных колебаний
Следовательно,
Из последнего выражения
Ответ: максимальное напряжение на обкладках конденсатора
Пример 6. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре дано в виде Решение: Из закона U(t) циклическая частота
Период колебания в контуре определяется параметрами контура Отсюда индуктивность контура
Закон изменения заряда на обкладках конденсатора
Закон изменения силы тока в цепи колебательного контура
Ответ: Т = 2 ∙ 10-4 с; L = 10 мГн; I = - 157sin104 π t (мА).
Одним из самых наглядных математических методов изображения гармонически изменяющихся величин является метод векторных диаграмм, или вращающегося вектора амплитуды (рисунок 3.1). Если из начала координат на плоскости (точка О) под углом φ, равным фазе колебаний в начальный момент времени провести вектор Векторная диаграмма дает возможность увидеть фазу колебания одной из величин и разность фаз между несколькими гармонически изменяющимися величинами, построенными на диаграмме таким же образом. Понятие фазы и разности фаз несут большие сведения о колебаниях, так как задав фазу на диаграмме мы одновременно задаем смещение и направление изменения величины.
|