Обобщенное уравнение и закон свободных колебаний

Следовательно, независимо от природы колебательного процесса и независимо от характера колеблющейся величины, колебания совершаются одинаково согласно общему уравнению, которое обобщенно имеет вид

,

где S – гармонически изменяющаяся величина,

- ее вторая производная;

ω ₀ – собственная циклическая частота колебания физической величины, определяемая параметрами системы в зависимости от ее природы.

Система, совершающая колебания, описываемые представленным обобщенным уравнением, называется гармоническим осциллятором. Пружинный, физический, математический маятники, а также колебательный контур являются примерами гармонического осциллятора.

Обобщенное уравнение гармонических колебаний представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решить это уравнение – значит найти в явном виде зависимость величины S от времени t, т.е. S (t), удовлетворяющую выражению, которое является законом колебания величины S и имеет вид

,

где S_max – максимальное значение колеблющейся величины;

- фаза колебаний;

φ ₀ – начальная фаза. Рассмотрим закон колебаний для механических и электрических систем.

Таблица 2.3 - Закон колебаний для механических и электрических систем

Механическая система	Электрическая система
1. Закон гармонического изменения координаты   ,   где - амплитуда смещения, м. Положим	1. Законы гармонического изменения заряда     и напряжения на обкладках конденсатора   (т.к. , то фаза колебаний совпадает); где qm – амплитуда заряда, Кл; Um – амплитуда напряжения, В.
2. Закон гармонического изменения скорости     где - амплитуда скорости, м/с.	2. Закон гармонического изменения силы тока в контуре     где - амплитуда силы тока
3. Закон гармонического изменения ускорения     где - амплитуда ускорения.	3. Закон гармонического изменения скорости изменения силы тока и э.д.с. самоиндукции в катушке
Как видно из законов гармонических измерений смещения х, скорости v, ускорения а от времени t и из графиков этих зависимостей фаза скорости сдвинута относительно фазы координаты на , а ускорение по фазе сдвинуто относительно координаты на π (колебания ускорения и смещения происходят в противофазе). В крайних положениях маятников, то есть при максимальных смещениях , скорость v = 0, а ускорение максимально . При прохождении равновесия наоборот – скорость vm максимальна, а ускорение	Как видно из законов гармонических колебаний заряда q, напряжения на конденсаторе U, силы тока в катушке I, скорости изменения силы тока и из графиков этих зависимостей фаза силы тока сдвинута относительно фазы изменения заряда на , а скорость изменения силы тока по фазе сдвинуто относительно заряда (и напряжения) на π (колебания и заряда q происходят в противофазе. Когда заряд (и напряжение) на конденсаторе максимальны qm и Um, то ток в контуре I = 0, а э.д.с. самоиндукции максимальна ℰ m, это приводит к разрядке конденсатора. При полной разрядке конденсатора q = 0 (и U = 0) ток в катушке достигает максимального значения Im. Происходит процесс перезарядки конденсатора.