Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Каждое выражение, значимое в терминах системы, может быть подставлено
|
|
вместо р, или q, или r и т.д. в любое предложение или теорему».
П р а в и л о а д ъ ю н к ц и и: «Любые два выражения, которые утверждаются по
отдельности, могут утверждаться совместно».
П р а в и л о и н ф е р е н ц и и: «Если утверждается р и утверждается (р î q), то утверждаемым является и q».
Льюис проводит сравнение материальной и строгой импликации. В связи с этим он к приведенным выше трем определениям добавляет еще два:
Df 4. р É q = Ø (р & Ø q) – читается так: «неверно, что р – истинно, а q –ложно».
Df 5. (р º q) = Ø (р & Ø q) & Ø (q & Ø р) – читается так: «р и q либо оба истинны, либо оба ложны».
Определения 4, 5 являются, соответственно, определениями материальной импликации и материальной эквиваленции.
Сравнивая материальную импликацию со строгой, Льюис пришел к выводу, что строгая импликация по объему понятия уже, чем материальная, поэтому по закону обратного отношения имеет место зависимость:
«Если принимается строгая импликация, то принимается и материальная, но не наоборот» – (р î q) î (р É q).
С помощью определения строгой импликации Df 2 из приведенных аксиом доказывают аксиомы классической системы логического вывода и, что самое главное, доказывается теорема [р & (р É q)] î q.
Применим правило адьюнкции: «Если утверждается р иутверждается (р É q), то q принимается согласно строгой импликации». Получается, что вся система матнриальной импликации сохраняется в системе строгой импликации при наличии в последней Df 4.
И еще один выжный вывод, вытекающий из сравнения «î» и «É»:
«Если в любой теории с материальной импликацией в утверждаемой формуле «А É В», где А и В – произвольные сложные формулы, заменить знак материальной импликации знаком строгой, то полученная формула будет доказуемой в системе строгой импликации».
Поскольку, как было установлено выше, не любая теорема системы с материальной импликацией является теоремой в системе со строгой импликацией, Льюис рассматривает теоремы системы с материальной импликацией, не имеющие аналогов в системе со строгой импликацией.
Из Df 2 вытекают две формулы:
1. 
(р É q) = Ø (р & Ø q)
(р É q) î Ø (р & Ø q)
2. (р É q) = Ø (р & Ø q)
Ø (р î Ø q) î (р É q)
Согласно третьему выводу, вытекающему из сравнения «î <» и «É», аналог первой формулы принимается в системе строгой импликации:
(р î q) î Ø (р & Ø q) - читается так: «истинное высказывание не порождает ложного ни строго, ни материально».
Аналог другой формулы, вытекающей из Df 4, не принимается:
Ø (р & Ø q) î (рî q).
Этообусловлено тем, что отсутствуют гарантии содержательной связи между «р» и «q».
Льюис полагал, что следствие (2) іи Df 4 является источником «парадоксов» материальной импликации. Если р î (q î р), то р É (q É р ). Значит, когда «р» истинно, его материально порождает любое высказывани. Но аналог со строгой импликацией р î (q î р) не принимается. Если Ø р î (р É q), то Ø р É (р É q). Следовательно, при ложности «р» из него вытекает материально произвольное «q». И снова аналог со строгой импликацией Ø р î p (р î q) не принимается.
Рассмотрим следующую совокупность теорем:
а) Ø (р É q) î (р É Ø q) - аналогом является Ø (р É q) É (р É Ø q);
б) Ø (р É Ø q) î (р É q) – аналогом является Ø (р É Ø q) É (р É q).
Выходит, то когда имеем высказывания «р» и «q», то «р» должно материально имплицировать истинность «q», в противном случае «р» будет имплицировать ложность «q».
Если бы формула «р É q» была принята в качестве эевивалентной выражению «из р следует q», то никакие антецедент и консеквент не могли бы одновременно быть совместимыми и независимыми друг от друга. Ведь если «р» и «q» совместимы, то истинность «р» не может имплицировать ложность «q», а если «q» независимо от «р», то «р» не может имплицировать истинность «q». Данное обстоятельство является основным аргументом против того, чтобы отождествлять содержательно понимаемое логическое следование с материальной импликацией.
Для более полного описания содержательного логического следования Льюис вводит еще два определения:
Df 6. р o q = Ø (р î Ø q). Это определение отношения совместимости: «р и q совместимы тогда и только тогда, когда невозможно, чтобы из р строго имплцировалась ложность q».
Df 7. à р = р o р = Ø (р î Ø р) - где «à» - модальный оператор «возможно». à р читается так: «р самосовместимо», или «р не порождает своего отрицания», или «р возможно». Если ввести отрицание, то получим ряд производных операторов:
Ø à р – «р невозможно», или «ложно, что р воможно»;
à Ø р – «возможно, что р ложно», или «р не является необходимо истинным»;
Ø à Ø р – «невозможно, что р ложно», или «р необходимо истинно».
Льюис так истолковывал модальные операторы «возможно», «невозможно», «необходимо»:
- à р – понимается как логически возможное, как отсутствие самопротиворечивости, как логически мыслимое;
- Ø à р – понимается как логическая невозможность, как логически немыслимое;
- Ø à Ø р – понимается как логическая необходимость, как логическая немыслимость того, чтобы «р» было ложным.
С использованием модальных операторов Льюис доказал ряд теорем, среди них такие:
1) р î à р;
2) Ø à Ø р î р;
3) Ø à Ø р î à р.
Используя аксиоматикуЛьюиса, теоремы 1, 2 и правила вывода, построим доказательство теоремы 3:
1. [(p î q) & (q î r)] î (p î r) - аксиома VI
2. [(Ø à Ø p î p) & (p î à р)] î (Ø à Ø р î à р) – по правилу подстановки в строку (1)
p/ Ø à Ø p, q/p, r/à p
3. (Ø à Ø р î р) & (р î à р) – из теорем (1) и (2) по принципу логического произведения
4. Ø à Ø р î à р - из строк (2), (3) по правилу инференции.
К семи аксиомам своей системы Льюис добавил аксиому VIII, получившую название «постулат совместимости»:
VIII. à (pq) î à p.
С помощью данной аксиомы Льюис доказал ряд теорем, среди которых некоторые созвучны «парадоксам» материальной импликации, но теперь они получены в системе строгой импликации:
1. «Невозможное высказывание порождает любое высказывание»:
Ø à p î (p î q)
2. «Необходимо истинное высказывание порождает любое высказывание»:
Ø à Ø р î (q î p).
Но Льюис не считал данные формулы парадоксальными, поскольку они не противоречат содержательному истолкованию логического следования, как это происходит с подобными выражениями в системе материальной импликации.
В целом концепция К.Льюиса оказалась значимым вкладом в развитие современной модальной логики.