Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
K – конъюнкция,
|
|
A – дизъюнкция.
Теперь логические союзы можно записать в виде таких равенств:
а)Nx = 1 – x.
б)Kx, y = min (x, y).
в)Ax, y = max (x, y).
г)Cx, y = min (1, 1 – x + y).
Прокомментируем два из приведенных равенств (остальные понятны без комментариев):
а)Nx =1-x (то есть Nx = 0 при х = 1, Nx = 1, при х = 0, Nх = ½ при х = ½ );
г ) Cx, y = min (1, 1 – x + y). Читается данное равенство так: « значение истинности импликации высказываний х и у равно меньшему из чисел «1», «1 – х + у».
Рассмотрим все возможные варианты:
1. С 1, 0 = min (1, 1 – 1 + 0) = 1, 0 = 0
2. С 0, 1 = min (1, 1 – 0 + 1) = 1, 2 = 1
3. С 1, 1= min (1, 1 – 1 + 1) = 1, 1 = 1
4. С 0, 0 = min (1, 1 – 0 + 0) = 1, 1 = 1
5. С ½, 1= min (1, 1 - ½ + 1) = 1, 1 ½ = 1
6. С 1, ½ = min (1, 1 – 1 + ½) = 1, ½ = ½
7. С 0, ½ = min (1, 1 - 0 + ½) = 1, 1 ½ =1
8. С ½, 0 = min (1, 1 - ½ + 0) =1, ½ = ½
9. С ½, ½ = min (1, 1 - ½ + ½) = 1, 1 =1
б)Кх, у = min (х, у) – (то есть значение истинности конъюнкции х и у равно меньшему из значений истинности х и у).
Приведем возможные варианты:
2. К 0, 1 = min (0, 1) = 0
1. К 1, 0 = min (1, 0) = 0
3. К 0, 0 = min (0, 0) = 0
4. К 1, 1 = min (1, 1) = 1
5. К ½, 1 = min (½, 1) = ½
6. К 1, ½ = min (1, ½) = ½
7. К ½, 0 = min (½, 0) = 0
8. К 0, ½ = min (0, ½) = 0
9. К ½, ½ = min (½, ½) = ½
в)Ах, у = max (х, у) – (то есть значение истинности дизъюнкции х и у равно большему из значений истинности х и у).
Приведем возможные варианты:
1. А 1, 0 = max (1, 0) = 1
2. А 0, 1 = max (0, 1) = 1
3. А 1, 1 = max(1, 1) = 1
4. А 0, 0 = max (0, 0) = 0
5. А ½, 1 = max (½, 1) = 1
6. А 1, ½ = max (1, ½) = 1
7. А ½, 0 = max (½, 0) = ½
8. А 0, ½ = max (0, ½) = ½
9. А ½, ½ = max (½, ½) = ½
Если сопоставить табличное определение пропозициональных сязок, приведенное выше, с определениями в форме равенств, нетрудно увидеть их идентичность.
По наналогии с двузначной логикой, в трехзначной логике Лукасевича законом является формула, принимающая значение «1» при любых наборах значений пропозициональных переменных. Значение «1» называют «отмеченным» значением.
Естественно возникает вопрос: «Совпадает ли класс тавтологий двузначной логики с классом отмеченных формул трехзначной логики?». Оказыается, не все тавтологии двузначной логики сокраняют отмеченное значение в трехзначной.
Возьмем принципиальные формулы, которыми выражаются закон исключенного третьего и закон противоречия: A Ú Ø A, Ø (A & Ø A).
При значении ½ они перестают быть тавтологиями:
А Ú Ø А = ½ Ú Ø ½ = ½ Ú ½ = ½
Ø (А & Ø А) = Ø (½ & Ø ½) = Ø (½ & ½) = Ø ½ = ½
В этом случае не относится к числу тавтологий и правило сведения к абсурду:
(Ø А É (В & Ø В)) É А, поскольку
(Ø ½ É (½ & Ø ½)) É ½ = (½ É (½ & ½)) É ½ = (½ É ½) É ½ = 1 É ½ = ½
Не только закон исключенного третьего и закон противоречия не являются тавтологиями в трехзначной логике Лукасевича. Не являются тавтологиями и их отрицания. Убедимся в этом, ограничившись рассмотрением отрицания закона исключенного третьего:
Ø (АÚ Ø А)
1. Ø (1 Ú Ø 1) = Ø (1Ú 0) = Ø (1) = 0
2. Ø (0 Ú Ø 0) =Ø (0 Ú 1) = Ø (1) = 0
3. Ø (½ Ú Ø ½) =Ø (½ Ú ½)=Ø (½) = ½
Из приведенных фактов вытекает, что многозначная логика не является отрицанием (отбрасыванием) двузначной логики - подобно тому, как появление физики Эйнштейна не означало отказа от физики Ньютна. Правильнее будет сказать, что многозначная логика представляет обобщение двузначной. Ведь при значениях «1 » и «0» двузначная логика выступает как предельный (частный) случай многозначной.
б) Четырехзнаяная логика Я.Лукасевича
Такую логику Я.Лукасевич изложил в работе «Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики».
Для этой логики он взял два исходных значения «1» и «0» и образовал из них четыре упорядоченных пары: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0), которые рассматриваются как элементы новой таблицы истинности. Значения истинности для исходных в его логике логических связок импликации и отрицания Я.Лукасевич задает соответствующими равенствами:
1) C (a, b) (c, d) = (C ab, C bd);
2) N (a, b) = (Na, Nb).
Упорядоченным парам сопоставим следующие значения:
(1, 1) = 1,
(1, 0) = 2,
(0, 1) = 3,
(0, 0) = 0.
Построим таблицу истинности для импликации с учетом введенных равенств:
q
С 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0
1, 1 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0
р 1, 0 1, 1 1, 1 0, 1 0, 1
0, 1 1, 1 1, 0 1, 1 1, 0
0, 0 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1
 |
Перепишем таблицу, использовав введенные сокращения:
q
С 1 2 3 0
1 1 2 3 0
Р 2 1 1 3 3
3 1 2 1 2
4 1 1 1 1
Дадим табличное определение отрицания (N):
| p | Np |
| 1, 1 | 0, 0 |
| 1, 0 | 0, 1 |
| 0, 1 | 1, 0 |
 0, 0
| 1, 1 |
С учетом сокращений данная таблица примет вид:
| p | Np |
Зададим значения для конъюнкции, дизъюнкции и эквиваленции:
3) К (a, b) (c, d) = (K (a, c) K (b, d))
4) A (a, b) (c, d) = (A (a, c) A (b, d))
5) Q (a, b) (c, d) = (Q (a, c) Q (b, d))
Введем табличное определение конъюнкции (К), дизъюнкции (А) и эквиваленции (Q):
q
К 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0
1, 1 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0
р 1, 0 1, 0 1, 1 0, 0 0, 0
0, 1 0, 1 0, 0 0, 0 0, 0
0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0
В сокращенном варианте данная таблица примет вид:
q
К 1 2 3 0
1 1 2 3 0
р 2 2 2 0 0
3 3 0 0 0
0 0 0 0 0
Таблица для дизъюнкции будет выглядеть так:
q
А 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0
1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1
р 1, 0 1, 1 1, 0 1, 1 1, 0
0, 1 1, 1 1, 1 0, 1 0, 1
0, 0 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0
А это сокращенный вариант последней таблицы:
q
| А | ||||
р
Теперь запишем таблицу для эквиваленции: 
q
Q 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0
1, 1 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0
1, 0 1, 0 1, 0 0, 0 0, 1
р 0, 1 0, 1 0, 0 1, 1 1, 0
0, 0 0, 0 0, 1 1, 0 1, 1
Сокращенный вариант последней таблицы выглядит так:
q
Q 1 2 3 0
1 1 2 3 0
2 2 2 0 3
p 3 3 0 1 2
0 0 3 2 1
Новые символы таблицы «2» и «3» можно истолковывать так: «2» – «ближе к истине», «3» - «ближе ко лжи». Поскольку истинностные значения «2» и »3» взяты в качесвтве дополнительных, их можно отождествлять произвольным образом со значениями «1» и «0».
Возьмем, например, ітаблицу для импликации и примем следующее условие: 2 = 1, а
3 = 0: q
C 1 1 0 0
1 1 1 0 0
р 1 1 1 0 0 Таблица № 1
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
А теперь перепишем данную таблицу при условии, что 2 = 0, а 3 = 1:
q
С 1 0 1 0
1 1 0 1 0
р 0 1 1 1 1 Таблица № 2
1 1 0 1 0
0 1 1 1 1
Анализируя таблицу №1, мы видим, что:
а) первая строка совпадает со второй, а третья – с четвертой;
б) первая колонка совпадает со второй, а третья – с четвертой.
Если вычеркнуть совпадающие строки и колонки с меньшим номером, то получим таблицу истинности для импликации в двузначной логике. Тот же эффект можно наблюдать, анализируя таблицу № 2.
Итак, как и в случае с трехзначной логикой, четырехзначная логика представляет обобщение двузначной логики. Поэтому можно утверждать, что любое исчисление неклассической логики в своей основе содержит двузначную логику.
Заканчивая знакомство с четырехзначной логикой, зададим алгоритм построения таблиц истинности и определим значение произвольного выражения.
Таблица истинности здесь строится по формуле «4ⁿ», где «4» – это количество значений, принимаемых высказыванием, а «n» – количество пропозициональных переменных, входящих в состав сложного высказывания.
Например, имеем формулу
(p É Ø q) Ú p.
Построим для него таблицу истинности. По формуле 4n она будет содержать 16 строк..
| № | p | q | Ø q | p É Ø q | (p É Ø q) Ú p | (p É Ø q) Ú p |
| 1, 1 | 1, 1 | 0, 0 | 0, 0 | 1, 1 | ||
| 1, 1 | 1, 0 | 0, 1 | 0, 1 | 1, 1 | ||
| 1, 1 | 0, 1 | 1, 0 | 1, 0 | 1, 1 | ||
| 1, 1 | 0, 0 | 1, 1 | 1, 1 | 1, 1 | ||
| 1, 0 | 1, 1 | 0, 0 | 0, 1 | 1, 1 | ||
| 1, 0 | 1, 0 | 0, 1 | 0, 1 | 1, 1 | ||
| 1, 0 | 0, 1 | 1, 0 | 1, 1 | 1, 1 | ||
| 1, 0 | 0, 0 | 1, 1 | 1, 1 | 1, 1 | ||
| 0, 1 | 1, 1 | 0, 0 | 1, 0 | 1, 1 | ||
| 0, 1 | 1, 0 | 0, 1 | 1, 1 | 1, 1 | ||
| 0, 1 | 0, 1 | 1, 0 | 1, 0 | 1, 1 | ||
| 0, 1 | 0, 0 | 1, 1 | 1, 1 | 1, 1 | ||
| 0, 0 | 1, 1 | 0, 0 | 1, 1 | 1, 1 | ||
| 0, 0 | 1, 0 | 0, 1 | 1, 1 | 1, 1 | ||
| 0, 0 | 0, 1 | 1, 0 | 1, 1 | 1, 1 | ||
| 0, 0 | 0, 0 | 1, 1 | 1, 1 | 1, 1 |
Таким обоазом, даная формула является доказуемой в четырехзначной логике.
Проверим, будут ли тавтологиями в чотирехзначной логике законы исключенного третьего и противоречия: (АÚ Ø А) и Ø (А& Ø А).
| № | А | Ø А | А Ú Ø А | А Ú Ø А | А & Ø А | Ø (А & Ø А) | Ø (А& Ø А) |
| 1, 1 | 0, 0 | 1, 1 | 0, 0 | 1, 1 | |||
| 1, 0 | 0, 1 | 1, 1 | 0, 0 | 1, 1 | |||
| 0, 1 | 1, 0 | 1, 1 | 0, 0 | 1, 1 | |||
| 0, 0 | 1, 1 | 1, 1 | 0, 0 | 1, 1 |
Выходит, законы исключенного третьего и противоречия остаются тавтологиями и в четырехзначной логике. А это означает, что многозначная логика не всегда отбрасывает законы классической логики. Поэтому более адекватным будет определениемногозначной логики как такой, которая допускает для высказываний более двух оценок.
Критика законов исключенного третьего и противоречия является лишь внешним проявлением тех процессов, которые определяют отношение между классической и неклассической логикой. И данное обстоятельство следует принимать во внимание при характеристике классической логики.
Прокомментируем последнее утверждение.
С учетом существования классической и неклассической логики закон исключенного третьего можно определить трояко:
а) «Любое высказывание является либо истинным, либо ложным».
б) «Любое высказвание обладает либо не обладает некоторым истинностным значением».
в) А Ú Ø А.
В приведенных определениях закона исключенного третьего решающими являются характеристики дизъюнкции и отрицания. Другими словами, при одних определениях формула
А Ú Ø А остается законом (в четырехзначной логике Я.Лукасевича), при других – нет (в трехзначной логике Я.Лукасевича). Если мы определим тавтологию как высказывание, которое всегда принимает одно из двух значений «1» либо «½» тоформула А Ú Ø А окажется тавтологией:
А Ú Ø А = 1Ú Ø 1 = 1Ú 0 = 1
А Ú Ø А = 0Ú Ø 0 = 0 Ú 1 = 1
А Ú Ø А = ½ Ú Ø ½ = ½ Ú ½ = ½
Третье определение закона исключенного третьего АÚ Ø А (как и закона противоречия
Ø (А& Ø А))являетсяприблизительным обозначением данного закона, поскольку его нельзя сводить к соответствующей тождественно истинной формуле – она будет представлять лишь некоторую экспликациюданного закона. И когда в учебниках логики в разделе «Законы логики высказываний» некоторые авторы законы тождества, противоречия и исключенного третьего приводят как соответствующие тавтологии (А É А, А Ú Ø А, Ø (А & Ø А) ), они поступают не совсем корректно. Особенно это бросается в глаза, когда задается интерпретация дизъюнкции и отрицания в многозначной логике; при этом формула А Ú Ø A хотя и будет законом (например, в четырехзначной логике), но не законом исключенного третьего в собственном его понимании.
Исходя из сказанного, всегда следует подходить придирчиво к тезису: «закон исключенного третьего в данной системе не действует».Если взять четырехзначную логику Лукасевича, то заявление, что «каждое высказывание является истинным или ложным» будет некорректным. В ней принимается утверждение: «Любое высказывание имеет значение «1» или «2» или «3» или «0». Можно сказать иначе: «Любое высказывание либо является истинным, либо не является (то есть принимает одно из остальных значений)».
Что касается закона противоречия, то из трех возможных его определений только первое сохраняет силу в многозначной логике:
1. «Невозможно, чтобы высказывание было одновременно истинным и ложным».
2. «Невозможно, чтобы высказывание имело и одновременно не имело хотя бы одно значение из числа возможных».
3.Ø (А & Ø А).
Таковы основные черты многозначной логики Я.Лукасевича.
2. Многозначная логика Брауэра – Гейтинга.
В развитии логики, как и любой науки, определяющими являются два вида причин:
а) внутренние и
б) внешние.
Для логики ввнуьренними стимулами развития является разработка и усовершенствование ее аппарата, а внешними – те процессы в научном познании, ддя анализа которых требуются логические средства.
Если для формулировки многозначной логики Лукасевича таким внешним толчком послужил анализ модальных высказываний, то для многозначной логики Брауэра – Гейтинга – необходимость обоснования математики в рамках концепции интуиционизма.
Брауэр исходил из следующего положения: «Если закон исключенного третьего действует в математической системе, рассматривающей конечные совокупности объектов, то в системе с бесконечными величинами он утрачивает свою абсолютность».
Гейтинг ввел такие определения для отрицания (N) и импликации (С):
| C | ½ | ||||||||
| x | ½ | ½ | ½ | ||||||
| y | ½ | ½ | ½ |
х Nx
1 0
0 1 
½ 0
В форме равенств Гейтинг задает импликацию следующим образом:
1) С х, у = 1, если £ у.
а) С х, у = С 0, 1 = 1
б) С х, у = С 0, ½ = 1
в) С х, у = С ½, 1 = 1
г) С х, у = С 0, 0 = 1
д) С х, у = С 1, 1 = 1
е) С х, у = С ½, ½ = 1
2) С х, у = у, если х > у.
а) С х, у = С 1, 0 = 0
б) С х, у = С 1, ½ = ½
в) С х, у = С ½, 0 = 0
Если объединить результаты двух равенств, то получим приведенную выше таблицу истинности для импликации.
Сравним теперь импликацию трехзначных логик Лукасевича и Гейтинга:
Лукасевич: С х, у = С ½, 0 = 1 - ½ + 0 = ½
С х, у = С 1, ½ = 1 – 1 + ½ =½
Гейтінг: С х, у = С ½, 0 = 0
С х, у = 1, ½ =½
Таким образом полного сходства нет.
Конъюнкцию и дизъюнкцию Гейтинг определил в соответствии с равенствами:
а) К х, у = min (х, у)
б) А х, у = max (х, у)
а) б)
Q q
& 1 ½ 0 Ú 1 ½ 0
p 1 1 ½ 0 p 1 1 1 1
½ ½ ½ 0 ½ 1 ½ ½
0 0 0 0 0 1 ½ 0 [А1]
С помощью таблиц истинности проверим, являются ли тавтологиями формулы CNNxx и AxNx
1. CNNxx = CNN½ ½ = CN 0 ½ = C1½ = ½
2. AxNx = A½ N½ = A½ 0 = ½.
Итак, законы двойного отрицания и исключенного третьегов системе Брауэра – Гейтинга не являются доказуемыми. В то же время формулы CxNNx и AAxNxNNx являются тавтологиями:
1. CxNNx = C½ NN½ = C½ N0 = C ½ 1=1
1. CxNNx = C0 NN0 = C 00 = 1
2. CxNNx = C1 NN1 = C11 = 1
Рассмотрим теперь формулу AAxNxNNx:
1. AAxNxNNx = AA1 N1 NN1 = AA101 = A11 = 1
2. AAxNxNNx = AA00 N0 NN0 = AA 010 = A01 = 1
3. AAxNxNNx = AA½ N½ NN½ = AAN½ N0 = A½ 1 = 1
Последняя формула (в привычной записи она выглядит так: (рÚ Ø р) Ú Ø Ø р) является своеобразным обобщением закона исключенного третьего с учетом того, что в логике Гейтинга двойное отрицание не эквивалентно утверждению. Сказанное означает, что многозначная логика Гейтинга является дополнением, своеобразным обобщением двузначной логики..
Для доказательства формул в данной системе строятся таблицы истинности. Поскольку данная логика трехзначна, то таблица истинности строится по формуле «3ⁿ ».
Возьмем две формулы и построим для них соответствующие таблицы истинности:
а)(p É Ø q) Ú q; б) Ø p É (p É q).
а)
| № Ст | p | q | Ø q | p É Ø q | (p É Ø q) Ú q | |
| ½ | ½ | |||||
| ½ | ||||||
| ½ | ½ | ½ | ||||
| ½ | ||||||
| ½ | ||||||
б)
| № Ст | p | q | Ø p | p É q | Ø p É (p É q) |
| ½ | ½ | ||||
| ½ | |||||
| ½ | ½ | ||||
| ½ | |||||
| ½ | |||||