Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Многозначная логика Е.Поста.
|
|
Какуже отмечалось, независимо от Я.Луксевича и почти одновременно с ним начал разрабатывать систему много значной логики Е.Пост. Он исходил из того, что высказывание может иметь не несколько фиксированных значений, а соответствующее их множество «n» (1, 2, 3, …n). Причем значения могут быть различной природы, а не только из области истиностных значений {истина … ложь}. Это могут быть, например, оценки: {добро, … зло}; {прекрасное,.. безобразное} и другие (например, {включено, … выключено}). Главными в этих случаях выступают логические отношения между высказываниями с подобными значениями.
При построении своей системы Пост вводит два вида отрицания. Первое он называет «циклическим», поэтапным, а второе совпадает с отрицанием Лукасевича..
Первое отрицание обозначим как Ø х, а второе – как ~х.
Дадим табличное определение этих отрицаний:
х Ø х х ~х
1 2 1 n
2 3 2 n-1
… … … …
n-1 n n-1 2
N 1 n 1
| |
В форме равенств Пост еще так определял отрицание. Первое (циклическое) отрицание определяется двумя равенствами:
1. Ø х = ú хú + 1 при ú хú £ n-1
2. Ø n =1
Второе отрицание определяется одним равенством:
~ x = n – ÷ x ÷ + 1
Прокомментируем приведенные определения. Возьмем циклическое отрицание (1). Предположим, что наша система многозначной логики (в варианте Поста) допускает 6 значений для высказывания: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (то есть «6 = n», а “5 = n-1”).
Имеем высказывание р, которое «пробегает» по множеству данных значений. Найдем значения Ø p при значениях p от 1 до 6:.
1. Ø р = 1+1 = 2 (n = 6)
2. Ø р = 2+1 =3
3. Ø р = 3+1 = 4
4. Ø р = 4+1 = 5
5. Ø р = 5+1 = 6
6. Ø р = 1)
В табличном варианте данная связка задается так:
| р | Ø р |
Рассмотрим теперь второй вариант отрицания Поста (~х). Снова предположим, что в нашей системе возможны 6 значений (1, 2, 3, 4, 5, 6) для произвольного высказывания:
1. ~р = 6 – 1+1 = 6 (при n = 6)
2. ~р = 6 – 2+1 = 5
3. ~р = 6 – 3+1 = 4
4. ~р = 6 – 5+1 = 3
5. ~р = 6 – 5+1 = 2
6. ~р = 6 – 6+1 = 1
Табличний вариант для (~х):
| р | ~р |
Дизъюнкция и конъюнкция определяются следующими равенствами:
а) А xy = min (x, y)
б) К ху = max (x, y)
Здесь необходимо принять во внимание, что в системе Поста более утвердительным (поскольку мы имеем дело не с двузначной логикой, то не следует понимать выражение «более утвердительное» как «более истинное») является то высказывание, которое по порядку ближе к исходному. Например, в системе с 6 значениями (1, 2, 3, 4, 5, 6) более утвердительным является высказывание со значением «2», чемвысказывание со значением«3» или «4».
Рассмотрим примеры дизъюнкции и конъюнкции:
1. Аху = min (1, 2) = 1
2. Аху = min (2, 3) = 2
3. Аху = min (3, 4) = 3
4. Аху = min (4, 5) = 4
5. Аху = min (5, 6) = 5
Табличный вариант:
q
| Ú | ||||||
  3
| ||||||
p
Теперь определим конъюнкцию:
1. Кху = max (1, 2) = 2
2. Кху = max (2, 3) = 3
3. Кху = max (3, 4) = 4
4. Кху = max (4, 5) = 5
5. Кху = max (5, 6) = 5
Табличное определение:
q
& 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 2 3 4 5 6
p 3 3 3 3 4 5 6
4 4 4 4 4 5 6
5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 6 6 6 6
Используя введенные Постом два вида отрицания, дизъюнкцию и конъюнкцию, определим возможные значения формул p Ú Ø р, Ø (р & Ø р).
Предположим, что в нашей системе n = 6:
| р | Ø р | ~ р | р Ú Ø р | Ø (рÚ Ø р) | р & ~р | ~ (р & ~р) |