Трехзначная логика Д. Бочвара

Свою многозначную логику Д. Бочвар задумал как способ избежания парадоксов. Он дал свою типологию высказываний, различая высказывания и предложения (то есть высказывания со смыслом).

И снова, как и в случае ранее рассмотренных многозначных систем, убеждаемся, что логика Бочвара является обобщением классической логики.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Определение неклассической логики.

2. Предпосылки возникновения неклассической логики.

3. Определение многозначной логики.

4. Обстаятельства появления трехзначной логики Я.Лукасевича.

5. Виды оценок высказываний в трехзначной логике Я.Лукасевича.

6. Табличное определение логических союзов в трехзначной логике Я.Лукасевича.

7. Определение логических союзов в форме равенств.

8. Соотношение тавтологий классической логики с классом тавтологий

трехзначной логики Я.Лукасевича.

9. Многозначная логика как обобщение двузначной логики.

10. Принципы построения четырехзначной логики Я.Лукасевича.

11. Определение логических союзов в четырехзначной логике Я.Лукасевича.

12. Построение таблиц истинности в четырехзначной логике Я.Лукасевича.

13. Исходные предпосылки построения многозначной логики Л.Брауэра – А.Гейтинга.

14. Определение отрицания (N) и импликации (C) в логике Л.Брауэра – А.Гейтинга.

15. Предпосылки построения многозначной логики Е.Поста.

16. Два вида отрицания у Е.Поста.

17. Определение конъюнкции и дизъюнкции у Е Поста.

18. Исходные принципы логики Д.Бочвара.

Раздел ІІ. МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА В НАЧАЛЕ ХХ ст.

Модальная логика – это раздел неклассической логики, в котором исследуются логические отношения между высказываниями, в оценке которых используются модальные понятия: «необходимо», «возможно», «доказуемо», «обязательно», «разрешено», «запрещено», «хорошо», «плохо» и т.п.

Истоки модальной логики уходят в античную эпоху, но систематическая ее разработка началась в первые десятилетия ХХ ст. Пионерами исследований в области модальной логики стали К.Льюис, Я.Лукасевич, В.Аккерман. Характерно, что ни Льюис, ни Лукасевич к идее модальной логики пришли через анализ проблем классической логики, которые, по их мнению, невозможно было решить средствами классической логики. Льюис пересмотрел классическое понятие логического следования, а Лукасевич обратил внимание на недостаточностьсредств двузначной логики при анализе высказываний, в которых не просто нечто утверждается или отрицается, а содержится мысль о неминуемости того, о чем идет речь в подобных высказываниях либо его невозможности, о будущих событиях и т.п.

Сделаем краткий обзор исканий пионеров модальной логики.

1. Критика Льюисом классической теории логического следования

После выхода в свет работы Б.Рассела и В.Уайтхеда“Принципыматематики” научная общественность получила в свое распоряжение классическую теорию логического следования. Данная теория дала позитивные результаты и в определенных границах была достаточно адекватной, но сразу после ее появления привлекла к себе интерес, граничащий с желанием ее ревизовать. Прежде всего дело касалось материальной импликации.

Материальная импликация является абстракцией, обобщением отношения между условием и результатом, причиной и следствием, основанием и заключением, предыдущим и последующим, а также обобщением, абстракцией смысловой, содержательной связи между антецедентоми консеквентом. Такая абстракция позволяет связывать не только причину и следствие, истинные высказывания, связанные по смсылу, но и противоположные им. Данное обстоятельство зафиксировано в определении импликации:

«Импликация ложна тогда и только тогда, когда антецедент истинный, а консеквент ложный, в остальных случаях она истинна».

Используя в теории логического следования материальную импликацию, мы можем исследовать разнообразные предметные области, связи и отношения, существующие между ними – идет ли речь о числах, исторических событиях или астрономических объектах и т.п. Такая универсальность теории логического следования является ее значительным достижением, но она имеет ряд нежелательных следствий, за которыми в логике закрепилось название «парадоксы материальной импликации». Образность данного названия заключается в том, что в отношениях материальной импликации осутстствует то, что в логике принято называть парадоксами, то есть внутренняя противоречивость. Тут имеем дело сдругим: с несоответствием логического следования обычной условной связи «если…то».

В исчислении материальной импликации истинными будут, например, следующие высказывания:

1. «Если через проводник пропустить электрический ток, то он нагреется».

2. «Если Земля – планета, то Париж – столица Франции».

3. «Если 2´ 2 = 5, то число планет Солнечной системы равно 9».

4. «Если 2´ 2 = 5, то число планет Солнечной системы равно 5».

Только в первом случае антецедент и консеквент не только истинны, но и содержательно связаны. В остальных примерах антецедент и консеквент либо одновременно не истинны, либо не связаны по смыслу. Но во всех этих примерах импликация истинна

Из сказанного вытекают две характеристика импликации:

1. «Истина следует из всего, чего угодно», поэтому формула p É (q É p) является тавтологией.

2. «Из лжи следует все, что угодно», поэтому формула Ø p É (p É q) является тавтологией.

№	p	q	p É q
	и	и	и
	и	л	л
	л	и	и
	л	л	и

Таблица истинности для имликации выразительно иллюстрирует данную ее особенность:

Из таблицы видно, что определение импликации запрещает ей быть истинной во второй строке, а во всех остальных разрешает. Здесь явно используется принцип «все, что не запрещается, разрешается». Поэтому, исходя из данного определения, никаких «парадоксов» не возникает. Проблемы возникают тогда, когла мы выходим за пределы этого определения и непреднамеренно упускаем из виду, что импликация является абстракцией условной связи и что таблица ее истинности не представляет изоморфный слепок с изображения условной связи.

Тогда 1-я и 3-я строки таблицы оказываются иллюстрацией первой формулировки «парадокса», а 3-я и 4-я – второй. В связи со сказанным поиски модели логического следования, адеватного содержательному, смысловому его пониманию, заключались в поисках связки, схожей с материальной импликацией, но свободной от упомянутых недостатков. Строгая, сильная импликация К.Льюиса претендовала, по замыслу автора, на такой статус.

К. Льюис специально подчеркивал, что все функции от р и q классического следования (Ø p, p & q, p Ú q, p É q, p º q) являются функциями истинности, в то время как в его системе строгой импликации отношения p î q, p = q не являются функциями истинности.

Поэтому Льюис, пережде чем описать свою систему строгой импликации, вводит ряд предварительных понятий. К ним относятся понятия «порождает», «совместимо», “независимо», «выводимое суждение», «утверждаемое суждение».

Рассмотрим эти понятия по порядку.

Выражение «р порождает q» означает «из р выводимым является q» («из р вытекает q»). Здесь не просто «голое» сопоставление истинностных значений (экстенсионалов) антецедента и консеквента (как это имеет место в материальной импликации), а явный намек на внутреннюю, содержательную связь р и q.

Следующее выражение «р совместимо с q” означает «истинность р не порождает ложности q» («из р не вытекает не-q», или «из истинности р не вытекает ложность q»), а выражение «q независимо от р» означает «р не порождает q», или «из р не вытекает q».

Другими словами, когда «р совместимо с q», это означает, что истинное «р» может породить, из него может следовать только истинное «q», а когда «q» независимо от «р», не связано с ним, то «р» никак не может породить«q».

Выражение «выводимое суждение» эквивалентно выражению «истинное суждение», а виражение «утверждать«р» означает «утверждать истинность «р», в то время как выражение «утверждать отрицание«р» означает «утверждать ложность «р».

Рассмотрим исходные элементы системы строгой импликации:

1. p, q, r, …p, q, r, … - элементарные высказывания;

2. Ø р – отрицание (читается так: «р –ложно», или «не – р»);

3. (рq) – логическое произведение (читается так: «р – истинно и q – истинно»,

«р и q»);

4. à р – (читается так: «р возможно», «возможно, чтобы р было истинным»,

«р совместимо с самим собой»);

5. р = q – логическая эквивалентность.

Пункты 1 – 5 составляют исходные элементы алфавита.

Кроме исходных элементов, система содержит ряд определений.

Df 1: рÚ q = Ø (Ø р & Ø q) – читается так: «в крайнем случае одно из двух, р или q, истинно, одновременно оба ложными они быть не могут».

Df 2: р î q = Ø à (р & Ø q). Данное определение задает строгую импликацию Льюиса. Читается так: «Ложно, что возможно, чтобы «р» было истинным и одновременно «q» было ложным»; «Не может быть так, чтобы «р» было истинным, а «q» ложным»; «Запрещается, чтобы «р» было истинным, а «q» –ложным».

По-другому данное определение млжно озвучить так:

«Если запрещается, чтобы «р» было истинным, а «q» – ложным, это означает, что при истинности «р», «q» обязательно должно быть истинным».

На первый взгляд, сказанное означает, что строгая импликация сводится к первой строке таблицы истинности для материальной импликации::

№	р	q	р É q
	и	и	и
	и	л	л
	л	и	и
	л	л	и

 

То есть разрешается первая строка таблицы и запрещаются остальные. Если придерживаться этого требования, нежелательные ситуации, получившие название «парадоксы материальной импликации», исключаются сами собой.

Однако К.Льюис предостерегает от столь поспешных выводов и тогода, когда подчеркивает, что строгая имликация и строгая эквиваленция не являются функциями истинности, и тогда, когда вводит в определение строгой импликации модальное понятие.